استعمال العدد العقديّ الممثّل لشعاعالأعداد العقديّة

1المسافة من فرق عددين

في الدرس السابق ربطنا كل شعاع بعدد عقدي، ورأينا أنّ الشعاع $\overrightarrow{AB}$ يمثّله العدد $z_B-z_A$، أي عدد النهاية ناقص عدد البداية. الآن نسأل السؤال الذي تعيش عليه المسائل: ماذا يعطينا هذا العدد بالضبط؟

نتبع طريق الكتاب. لتكن $M$ النقطة التي تحقّق $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$، أي الشعاع نفسه منقولاً إلى المبدأ. تساوي شعاعين يكافئ تساوي العددين الممثّلين لهما، إذن العدد الممثّل للنقطة $M$ هو $z_M=z_B-z_A$.

طويلة العدد $z_M$ هي بُعد $M$ عن المبدأ، أي $OM$. وبما أنّ الشعاعين متساويان فإنّ $OM=AB$، فنحصل على أوّل نتيجة في الدرس:

الطويلة تحوّل فرق عددين إلى مسافة. الفرق $z_B-z_A$ عدد عقدي، أمّا $\mathrm{\mid }{z}_B-z_A\mathrm{\mid }$ فعدد حقيقي موجب، وهو طول القطعة $[AB]$.

لا تكتب $AB=z_B-z_A$. المسافة لا تكون عقدية ولا سالبة. وفي $\mathbb{C}$ لا نقارن الأعداد نفسها، نقارن طويلاتها فقط، فعلامة الطويلة ليست زينة.

2الزاوية مع الاتّجاه الموجب

الطويلة أعطتنا الطول. وماذا تعطينا الزاوية؟ الشعاع $\overrightarrow{OM}$ يصنع مع $\vec{u}$ زاوية، وهذه بالتعريف زاوية العدد $z_M$. وما دام $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$، فالزاوية نفسها تصلح للشعاع $\overrightarrow{AB}$.

بشرط أن يكون الشعاع غير معدوم، أي $z_A\mathrm{\ne }{z}_B$، نكتب:

الترتيب $z_B-z_A$ لا يُقلب. في المسافة لا يضرّ القلب، لأنّ $\mathrm{\mid }{z}_A-z_B\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_B-z_A\mathrm{\mid }$. أمّا في الزاوية فالقلب يعطي الشعاع المعاكس ويزيد الزاوية $\pi$. النهاية أوّلاً، ثمّ البداية.

3خارج القسمة يقول النسبة والزاوية

المسائل نادراً ما تسأل عن زاوية شعاع مع $\vec{u}$. تسأل عن الزاوية بين شعاعين، أي $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$. وهنا تظهر الفكرة التي تحمل الوحدة كلّها.

نستند إلى علاقة شال في الزوايا الموجّهة، ونمرّ بـ $\vec{u}$ وسيطاً:

وفرق زاويتين هو زاوية خارج القسمة، لأنّ القسمة تطرح الزوايا كما رأينا في الوحدة السابقة. إذن كل الزاوية المطلوبة تسكن في كسر واحد:

ولماذا نحسب هذا الكسر أصلاً؟ لأنّه يحمل جوابين في عدد واحد. زاويته هي الزاوية بين الشعاعين كما رأينا، وطويلته هي نسبة الطولين:

عدد واحد، قراءتان: الطويلة تقول كم مرّة، والزاوية تقول بأيّ ميل. من فهم هذه الجملة استغنى عن حفظ بقيّة الدرس.

المقام يخصّ الشعاع الأوّل والبسط يخصّ الثاني. لو قلبت الكسر لحصلت على $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{AB})$، أي الزاوية نفسها بإشارة معاكسة، والنتيجة تنقلب معك في الامتحان.

4استقامة أم تعامد

نقرأ الآن حالتين خاصّتين من الزاوية، وهما أكثر ما يُسأل عنه في الامتحان.

إذا كانت الزاوية $0$ أو $\pi$، فالشعاعان على المنحى نفسه أو على منحيين متعاكسين، أي مرتبطان خطّياً، والمستقيمان $(AB)$ و $(CD)$ متوازيان أو منطبقان. وزاوية عدد تساوي $0$ أو $\pi$ تعني بالضبط أنّ العدد حقيقي غير معدوم.

وإذا كانت الزاوية $\frac{\pi }{2}$ أو $-\frac{\pi }{2}$، فالشعاعان متعامدان، وهذا يكافئ أن يكون الكسر تخيّلياً بحتاً.

ولإثبات وقوع ثلاث نقاط متباينة $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة نختار الشعاعين من النقطة نفسها، فيصير الشرط قصيراً: إذا كان $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ عدداً حقيقياً غير معدوم، فالنقاط الثلاث على استقامة واحدة.

الاختصار العملي: كسر حقيقي بين شعاعين ينطلقان من النقطة نفسها يعني وقوع النقاط على استقامة واحدة، وبين شعاعين على مستقيمين يعني توازي المستقيمين، وكسر تخيّلي بحت يعني التعامد في الحالتين.

5مثال الكتاب: مثلّثان قائمان

نطبّق الآن على مثال الكتاب بأعداده. لاحظ أنّ الكتاب يكتب هنا $a$ و $b$ و $c$ و $d$ بدل $z_A$ و $z_B$ و $z_C$ و $z_D$. الاختصار نفسه تجده في أسئلة الامتحان، والمقصود واحد.

الإشارة السالبة في $-\frac{\pi }{2}$ ليست خطأً يجب إصلاحه. هي تقول في أي جهة تدور الزاوية. للتعامد يكفي $\frac{\pi }{2}$ أو $-\frac{\pi }{2}$، والاثنتان مقبولتان.

6مجموعتان تُقرآن من الطويلة

بقيت قراءة أخيرة للطويلة، وهي التي تنتج مجموعات نقاط. تذكّر فقط أنّ $\mathrm{\mid }z-\omega \mathrm{\mid }$ هو البعد بين النقطة $M(z)$ والنقطة $\mathrm{\Omega }(\omega )$، لا أكثر.

فإذا ثبّتنا هذا البعد عند قيمة $r$ موجبة تماماً، جمعنا كل النقاط التي تبعد $r$ عن $\mathrm{\Omega }$، وهذه هي الدائرة:

وإذا طلبنا أن تبعد $M$ المسافة نفسها عن نقطتين مختلفتين $A(a)$ و $B(b)$، أي $MA=MB$، حصلنا على محور القطعة المستقيمة $[AB]$. وهذا المحور يمرّ بمنتصف $[AB]$، والعدد الممثّل للمنتصف هو $\frac{a+b}{2}$ كما رأينا في الدرس السابق.

انتبه للإشارة داخل الطويلة. الشرط $\mathrm{\mid }z+2i\mathrm{\mid }=3$ ليس مركزه $2i$. أعد كتابته على الصورة $\mathrm{\mid }z-\omega \mathrm{\mid }$ أوّلاً، فتقرأ $\mathrm{\mid }z-(-2i)\mathrm{\mid }=3$، والمركز $-2i$.

كل الدرس في سطر: $\mathrm{\mid }{z}_B-z_A\mathrm{\mid }$ مسافة، و $\arg (z_B-z_A)$ اتّجاه، وخارج القسمة يعطي نسبة الطولين والزاوية معاً ليحكم على الاستقامة والتعامد ونوع المثلّث.