تطبيقات الاشتقاقالتحليل

1إشارة المشتق تحكم على الاطراد

ليكن $f$ تابعاً اشتقاقيّاً على مجالٍ $I$، وتابعه المشتقّ $f^{\mathrm{\prime }}$. الفكرة بسيطة: الميل الموجب يعني صعوداً، والميل السالب هبوطاً، والميل المعدوم سكوناً. والمبرهنة تجعل هذا الكلام دقيقاً.

اصطلاحٌ من الكتاب: نكتب $g>0$ على $I$ دلالةً على أنّ $g(x)>0$ أيّاً كانت $x$ من $I$. عبارةٌ مختصرة عن كلّ نقاط المجال، لا عن نقطةٍ واحدة.

وللبندين الأوّلين صياغةٌ مكافئة يستعملها الكتاب في البراهين، وهي أسهل في التطبيق: إذا كان $0\le f^{\mathrm{\prime }}$ على $I$ ولا ينعدم على أيّ مجالٍ جزئيٍّ من $I$، كان $f$ متزايداً تماماً على $I$. وبالمثل مع $f^{\mathrm{\prime }}\le 0$ والتناقص.

لاحظ الفرق بين «ينعدم عند عددٍ منتهٍ من النقاط» و«ينعدم على مجالٍ جزئي». الأولى مسموحة ولا تكسر الاطراد التامّ، والثانية تكسره: تابعٌ مشتقّه معدوم على مجالٍ كامل يكون ثابتاً هناك، فلا يعود متزايداً تماماً.

🚨 وشرطُ أنّ $I$ مجالٌ ضروريّ، وليس تفصيلاً. خذ التابع المعرّف بـ $f(x)=-1$ عندما $x<0$ و $f(x)=1$ عندما $0<x$. هو اشتقاقيٌّ على ${\mathbb{R}}^{\ast }$ و $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ أيّاً كانت $x$ من ${\mathbb{R}}^{\ast }$، ومع ذلك فإنّ $f$ ليس ثابتاً. السبب أنّ ${\mathbb{R}}^{\ast }$ ليس مجالاً بل اجتماع مجالين، والمبرهنة لا تسري عليه.

2القيم الحدّية

ليكن $f$ تابعاً معرّفاً على مجالٍ $I$ ولتكن $c$ نقطة من $I$. نقول إنّ القيمة $M=f(c)$ قيمةٌ كبرى محلياً للتابع $f$ يبلغها عند $c$ إذا وُجِدَ مجالٌ مفتوحٌ $J$ يضمّ $c$ ويحقّق الشرط الآتي.

ونقول إنّ $f(a)$ قيمةٌ حدّيّة محلّياً إذا كانت قيمة كبرى محلّياً أو صغرى محلّياً. وكلمة «محلّياً» هي المفتاح: المقارنة تجري داخل مجالٍ صغيرٍ حول النقطة، لا على المجال كلّه.

وقيمةٌ واحدة قد تكون الاثنتين معاً عند نقطتين مختلفتين. في مثال الكتاب على المجال $[a,b]$ تكون $A=f(a)=f(b)$ قيمةً كبرى محلّياً يبلغها التابع عند $b$، وقيمةً صغرى محلّياً يبلغها عند $a$. الطرفان يتصرّفان تصرّفاً خاصّاً لأنّ المجال ينتهي عندهما.

وفي شروط المبرهنة، إذا كانت $f(c)$ قيمةً حدّيّة، كان المماس للخطّ البياني في النقطة $(c,f(c))$ أفقيّاً. هذا هو الجسر إلى درس المماس: قيمةٌ حدّيّة ومماسٌ أفقيّ وجهان لأمرٍ واحد.

🚨 وانعدام المشتق وحده لا يكفي. التابع $f(x)=x^3$ يحقّق $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$، ومع ذلك فإنّ $f(0)$ ليست قيمةً كبرى محلّياً ولا صغرى محلّياً، لأنّ $f^{\mathrm{\prime }}$ لا يغيّر إشارته عند الصفر: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$ موجبٌ على الجانبين. تغيّر الإشارة هو الشرط، لا الانعدام.

3حلّ المعادلات، وهو الجديد

المبرهنة الثالثة هي الوحيدة الجديدة في هذه الوحدة، وهي أكثرها ظهوراً في البكالوريا. تربط الاطراد التامّ بعدد حلول معادلة.

والصياغة المقابلة بالتناقص: إذا كان $f^{\mathrm{\prime }}\le 0$ على $I$ ولا ينعدم على أيّ مجالٍ جزئي، فأيّاً كان $k$ من $[f(b),f(a)]$ كان للمعادلة $f(x)=k$ حلٌّ وحيد في $[a,b]$. ويكفي أن نفترض $f$ مستمرّاً على المجال المغلق $[a,b]$ واشتقاقيّاً على المفتوح $]a,b[$، ومشتقّه لا يغيّر إشارته.

وأكثر ما يُطلب في الامتحان هو الحالة $k=0$، أي تحديد مواقع حلول معادلة $f(x)=0$. لإثبات أنّها تقبل حلّاً وحيداً $\alpha$ في مجالٍ $I$، محدودٍ أو غير محدود، مغلقٍ أو مفتوح، يكفي إثبات أمرين.

الشرط $f(a)\times f(b)<0$ هو الصيغة العمليّة لعبارة «من إشارتين مختلفتين». اضرب القيمتين وانظر إلى إشارة الجداء، فهذا أسرع من مقارنة الإشارتين واحدةً واحدة، وهو ما يكتبه المصحّح في السلّم.

4دراسة كاملة: التابع ظلّ

يختم الكتاب الدرس بدراسةٍ كاملة لتابعٍ واحد، ونتبعه: $f:x\mapsto \tan x$. فيها تجتمع كلّ أدوات الوحدة، وهي النموذج الذي يتكرّر في المسألة الكبرى للبكالوريا.

مجموعة التعريف: تذكّر أنّ $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$، فهو غير معرّف عندما $\cos x=0$، أي في حالة $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$ حيث $k\in \mathbb{Z}$.

مجموعة الدراسة: أيّاً كانت $x$ من ${\mathcal{D}}_f$ كانت $-x$ من ${\mathcal{D}}_f$، وكان $f(-x)=-f(x)$، فالتابع فردي وخطّه البياني متناظر بالنسبة إلى المبدأ $O$. وهو دوريّ ودورُه $\pi$، فتكفي دراسته على مجالٍ طوله $\pi$، ولأنّه فردي نكتفي بالمجال $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$.

عند طرف مجال الدراسة: التابع مستمرّ عند $0$ و $f(0)=0$. وعندما تقترب $x$ من ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ بقيمٍ أصغر منها، يسعى $\cos x$ إلى الصفر بقيمٍ موجبة، فتكبر النسبة بلا حدّ.

فالمستقيم الذي معادلته $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ مستقيمٌ مقاربٌ شاقوليّ للخطّ البياني. ولاحظ أنّه مقاربٌ لا مماس: الخطّ يقترب منه بلا حدّ ولا يلمسه أبداً.

الاطراد: التابع $f$ اشتقاقيٌّ على ${\mathcal{D}}_f$، ومشتقّه موجبٌ تماماً هناك، فهو متزايدٌ تماماً على كلّ مجالٍ من مجالات تعريفه، وعلى الخصوص على $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$.

وبهذا يكتمل جدول التغيّرات البسيط على مجال الدراسة.

لا تقل إنّ $\tan$ متزايدٌ تماماً على ${\mathcal{D}}_f$. مجموعة التعريف اجتماعُ مجالات لا مجالٌ واحد، والاطراد يُقال على كلّ مجالٍ منها على حدة. هذا هو الشرط نفسه الذي رأيناه في المبرهنة 2، وهنا يظهر في أوضح صورة: الفرع التالي يبدأ من $-\mathrm{\infty }$ من جديد.

5مثال محلول: جدول تغيّرات وجذرٌ وحيد

في سلالم التصحيح التي قرأناها يُبَنَّد الجدول خليّةً خليّة: درجتان لكلّ إشارةٍ وثلاث لكلّ سهم في دورة $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->6}$، ومع ذلك تُخصم ثلاث درجات إذا لم توافق الإشارةُ الأسهم. اجعل السهم يتبع الإشارة دائماً، ولا تملأ الجدول من الشكل.