مرافق عدد عقديالأعداد العقديّة

1ما هو المرافق

خذ عدداً عقدياً $z=a+ib$. مرافقه هو العدد نفسه مع قلب إشارة الجزء التخيلي وحده. الجزء الحقيقي لا يتغيّر.

نرمز للمرافق بخطّ فوق الحرف، فنكتب $\bar{z}$ ونقرؤها: مرافق $z$.

ثلاثة أمثلة من الكتاب تكفي لتثبيت الفكرة: مرافق $1+i$ هو $1-i$، ومرافق $3$ هو $3$ نفسه، ومرافق $-2i$ هو $2i$.

العدد الحقيقي مرافقه نفسه، لأنّ جزأه التخيلي صفر ولا شيء ينقلب.

2المرافق في المستوي

الفكرة تصير أوضح على الورقة. إذا كانت $M$ صورة العدد $z$، فصورة مرافقه $M^{\mathrm{\prime }}$ تقع تحتها تماماً، على البعد نفسه من محور الفواصل.

بعبارة الهندسة: $M^{\mathrm{\prime }}$ هي نظيرة $M$ بالنسبة إلى محور الفواصل. والانعكاس لا يغيّر المسافة إلى المبدأ، فالقطعتان $OM$ و $O{M}^{\mathrm{\prime }}$ متساويتان.

المرافق يغيّر مكان النقطة، لا بعدها عن المبدأ. لذلك الطويلة واحدة للعددين.

3نتائج مباشرة

من التعريف وحده تخرج عدّة نتائج، وكلّها تُستعمل لاحقاً. أوّلها أنّ المرافق عملية تعود على نفسها: إذا رافقت مرّتين، عدت إلى حيث بدأت.

وإذا جمعت العدد مع مرافقه، حذف الجزآن التخيليان بعضهما وبقي ضعف الجزء الحقيقي. وإذا طرحت، حذف الجزآن الحقيقيان وبقي ضعف الجزء التخيلي.

من هاتين نستخرج الجزأين بلا حاجة إلى فتح الكتابة الجبرية:

والنتيجة الأهمّ للحساب: عدد مضروب بمرافقه يعطي مربّع الطويلة، وهو عدد حقيقي موجب. هذه هي بالضبط الحيلة التي جعلت المقام حقيقياً في الدرس السابق.

4المرافق يمرّ عبر العمليات

السؤال الطبيعي: إذا رافقنا مجموعاً أو جداءً، هل نستطيع أن نرافق كل جزء على حدة؟ الجواب نعم، وهذا ما يجعل المرافق أداة عملية.

المرافقة تطال كل شيء في المقدار: كل عامل وكل ثابت. إذا ظهر $i$ في ثابت، فهو ينقلب هو أيضاً. مثلاً مرافق $2iz$ هو $-2i\bar{z}$، لا $2i\bar{z}$.

5لماذا نحتاجه أصلاً

الكتاب يجيب عن هذا السؤال بجوابين. الأوّل أنّ $z\bar{z}$ عدد حقيقي، ولذلك يفيد في حساب الشكل الجبري لخارج قسمة. والثاني أنّه يعطي شرطاً لازماً وكافياً ليكون عدد ما حقيقياً أو تخيّلياً بحتاً.

كلّما رأيت مقاماً عقدياً، اضرب البسط والمقام بمرافق المقام. هذه جملة واحدة تحلّ كل مسائل القسمة في الوحدة.