الفيزياء، البكالوريا، الفرع العلمي

قوانين أوم: المقاومة والوشيعة والمكثّفة

كلّ عنصرٍ وحده في التيّار المتناوب: الممانعة، وفرق الطور بين التوتّر والشدّة، والاستطاعة المستهلكة

الكهرباءُ والمغناطيسيّة . الوحدة 2 . الدرس 5 (2 من 4)

بسيطة

في التيّار المتواصل يكفي قانون أوم $U = R I$ . في المتناوب تتصرّف الوشيعة والمكثّفة تصرّفاً آخر: لكلٍّ منهما ممانعةٌ تتعلّق بالتواتر، وتزيح التوتّر عن الشدّة، بربع دورٍ إن أهملنا مقاومة الوشيعة. هذه القوانين أساس كلّ مسألة تيّارٍ متناوب في امتحان الشهادة. نتابع مع الكتاب في الصفحات 138 إلى 143.

ثلاث تجارب

في تجارب الكتاب، الصفحتان 138 و139، نطبّق توتّراً متواصلاً ثمّ متناوباً على ناقلٍ أوميّ، ثمّ على وشيعة، ثمّ على مكثّفة، ونقيس التوتّر والشدّة في كلّ مرّة. مع الناقل الأوميّ تبقى النسبة $\frac{U_{eff}}{I_{eff}} = R$ في التيّارين.

تذكّر: «يسلكُ النّاقلُ الأوميّ السّلوكَ نفسَه في التيّارَين المُتواصِلِ والمُتناوب.» «تقومُ الوشيعةُ بدورِ مُقاوَمةٍ أوميّةٍ في التيّارِ المُتواصِلِ وتقومُ بدورِ مُقاوَمةٍ وذاتيّةٍ في التيّارِ المُتناوب.» «لا تسمحُ المُكثِّفةُ بمرورِ التيّارِ المُتواصِلِ في حينِ أنّها تمرِّرُ التيّارَ المُتناوب.» الكتاب، الصفحة 139.

العازل بين لبوسي المكثّفة يمنع التيّار المتواصل. أمّا في المتناوب فالإلكترونات الحرّة تشحن اللبوسين بشحنتين متساويتين ومختلفتين خلال ربع دور، ثمّ تفرّغهما في الربع الثاني، وتتكرّر العمليّتان مع تغيّر الشحنة، دون أن تخترق العازل. والحقل الكهربائيّ الناتج عن شحنتها يجعلها تبدي ممانعةً للتيّار المتناوب. الكتاب، الصفحة 140.

نطبّق توتّراً متواصلاً على مكثّفةٍ مع مقياس أمبير على التسلسل. ماذا يُظهر المقياس بعد انتهاء الشحن؟

كيف أبدأ؟ هل تعبر الإلكترونات العازل بين اللبوسين؟

أ)شدّةً ثابتةً لا تنعدم
ب)الصفر
ج)شدّةً متناوبة

ب. نعم: «لا تسمحُ المُكثِّفةُ بمرورِ التيّارِ المُتواصِل»، الكتاب، الصفحة 139.

مقاومة أوميّة في دارة تيّارٍ متناوبٍ جيبيّ

نتبع الكتاب، الصفحة 140: نطبّق توتّراً لحظيّاً على مقاومةٍ أوميّةٍ صرف $R$ ، فيمرّ تيّارٌ تابع شدّته اللحظيّة $\overset{ˉ}{i} = I_{max} \cos ω t$ .

\overset{ˉ}{u}, \overset{ˉ}{φ} = ?

1. التوتّر قانون أوم في كلّ لحظة:
$\overset{ˉ}{u} = R \overset{ˉ}{i} = R I_{max} \cos ω t$
2. فرق الطور $U_{max} = R I_{max}$ ، والتوتّر والشدّة على توافقٍ بالطور:
$\overset{ˉ}{u} = U_{max} \cos ω t \overset{ˉ}{φ} = 0$
3. القيم المنتجة نقسم $U_{max} = R I_{max}$ على $\sqrt{2}$ :
$U_{eff} = R I_{eff}$

و $\cos φ = 1$ ، فالاستطاعة المتوسّطة كلّها حرارةٌ بفعل جول، الكتاب، الصفحة 141:

P_{avg} = U_{eff} I_{eff} = R I_{eff}^{2}

تمثيل فرينل للمقاومة: التوتّر بجهة الشدّة، الكتاب، الصفحة 140. الرسم من عندنا.

مقاومةٌ أوميّة $R = 50 Ω$ تحت توتّرٍ منتج $220 V$ . ما الشدّة المنتجة؟

كيف أبدأ؟ $I_{eff} = \frac{U_{eff}}{R}$ .

أ) $I_{eff} \approx 6.22 A$
ب) $I_{eff} = 11000 A$
ج) $I_{eff} = 4.4 A$

ج. نعم: $\frac{220}{50} = 4.4 A$ .

وشيعةٌ مهملة المقاومة، ثمّ وشيعةٌ لها مقاومة

نتبع الكتاب، الصفحة 141: نطبّق توتّراً لحظيّاً على وشيعةٍ ذاتيّتها $L$ ومقاومتها مهملة، فيمرّ تيّار $\overset{ˉ}{i} = I_{max} \cos ω t$ .

{\overset{ˉ}{u}}_{L}, X_{L} = ?

1. التوتّر بين طرفي الوشيعة:
${\overset{ˉ}{u}}_{L} = L \frac{d \overset{ˉ}{i}}{d t}$
2. المشتقّ نشتقّ تابع الشدّة:
$\begin{array}{c} \frac{d \overset{ˉ}{i}}{d t} = - I_{max} ω \sin ω t \\ \frac{d \overset{ˉ}{i}}{d t} = I_{max} ω \cos (ω t + \frac{π}{2}) \end{array}$
3. التعويض نعوّض، ونسمّي $X_{L} = L ω$ :
${\overset{ˉ}{u}}_{L} = X_{L} I_{max} \cos (ω t + \frac{π}{2})$

«نسمّي المقدارَ $X_{L} = L ω$ بمُمانَعةِ الوشيعةِ مُهمَلةِ المُقاوَمة وتُسمّى ردّيّةَ الوشيعة» الكتاب، الصفحة 141. والتوتّر يتقدّم على الشدّة بـ $\frac{π}{2}$ ، وبالقسمة على $\sqrt{2}$ :

U_{eff} = X_{L} I_{eff} X_{L} = L ω

تمثيل فرينل للوشيعة مهملة المقاومة: التوتّر يتقدّم بربع دور، الكتاب، الصفحة 142. الرسم من عندنا.

و $\overset{ˉ}{φ} = + \frac{π}{2}$ ، فـ $\cos φ = 0$ والاستطاعة المتوسّطة معدومة: «فالوشيعةُ مُهمَلةُ المُقاوَمة تختزنُ طاقةً كهرطيسيّةً خلالَ ربعِ دورٍ لتعيدَها كهربائيّاً إلى الدّارةِ الخارجيّةِ خلالَ ربعِ الدّورِ الذي يليه، أي أنّ الوشيعةَ لا تستهلكُ طاقة» الكتاب، الصفحة 142.

وإذا كانت للوشيعة مقاومةٌ أوميّة $r$ ، فممانعتها وعامل استطاعتها، كما في ملاحظة الكتاب، الصفحة 142:

Z_{L} = \sqrt{r^{2} + X_{L}^{2}} \cos φ_{L} = \frac{r}{Z_{L}}

ويتقدّم التوتّر على الشدّة بمقدار $φ_{L}$ ، بين $0$ و $\frac{π}{2}$ ، و $U_{eff} = Z_{L} I_{eff}$ . والاستطاعة المتوسّطة تُستهلك في المقاومة $r$ وحدها.

انتبه: 🚨 في وشيعةٍ لها مقاومة لا تنسَ $r$ : الممانعة $Z_{L}$ لا $X_{L}$ ، وعامل الاستطاعة $\frac{r}{Z_{L}}$ لا صفر.

المسألة الأولى، الكتاب، الصفحة 151: $\overset{ˉ}{u} = 130 \sqrt{2} \cos 100 π t$ بين النقطتين $a$ و $b$ . نصل بينهما وشيعةً مقاومتها $r = 25 Ω$ وذاتيّتها $L = \frac{3}{5 π} H$ . احسب الشدّة المنتجة، وعامل الاستطاعة، والاستطاعة المتوسّطة.

I_{eff}, \cos φ, P_{avg} = ?

1. القيم من التابع:
$U_{eff} = 130 V ω = 100 π r a d . s^{- 1}$
2. الممانعة الردّيّة ثمّ الممانعة:
$\begin{array}{c} X_{L} = \frac{3}{5 π} \times 100 π = 60 Ω \\ Z_{L} = \sqrt{25^{2} + 60^{2}} = 65 Ω \end{array}$
3. الشدّة المنتجة $U_{eff} = Z_{L} I_{eff}$ :
$I_{eff} = \frac{130}{65} = 2 A$
4. الاستطاعة $\cos φ = \frac{r}{Z_{L}}$ :
$\begin{array}{c} \cos φ = \frac{25}{65} = \frac{5}{13} \approx 0.38 \\ P_{avg} = 130 \times 2 \times \frac{5}{13} = 100 W \end{array}$

تحقّقٌ: الاستطاعة كلّها في المقاومة $r$ :

r I_{eff}^{2} = 25 \times 4 = 100 W

المسألة الثانية، الكتاب، الصفحة 151: نطبّق توتّراً متواصلاً $6 V$ على طرفي وشيعة فيمرّ $0.5 A$ ، ثمّ توتّراً متناوباً جيبيّاً منتجه $130 V$ وتواتره $50 H z$ فتمرّ شدّةٌ منتجة $10 A$ . احسب مقاومة الوشيعة وذاتيّتها.

r, L = ?

1. المقاومة في التيّار المتواصل الوشيعة مقاومةٌ أوميّة فقط:
$r = \frac{6}{0.5} = 12 Ω$
2. الممانعة في المتناوب:
$Z_{L} = \frac{130}{10} = 13 Ω$
3. الذاتيّة $X_{L} = \sqrt{Z_{L}^{2} - r^{2}}$ و $ω = 100 π r a d . s^{- 1}$ :
$\begin{array}{c} X_{L} = \sqrt{169 - 144} = 5 Ω \\ L = \frac{5}{100 π} = \frac{1}{20 π} \approx 1.59 \times 10^{- 2} H \end{array}$

التيّار المتواصل يكشف $r$ وحدها، والمتناوب يضيف الذاتيّة:

Z_{L} = \sqrt{r^{2} + (L ω)^{2}}

وشيعةٌ مهملة المقاومة ذاتيّتها $0.2 H$ في تيّارٍ تواتره $50 H z$ . ما ردّيّتها؟

كيف أبدأ؟ $X_{L} = L ω$ مع $ω = 2 π f$ .

أ) $X_{L} \approx 62.8 Ω$
ب) $X_{L} = 10 Ω$
ج) $X_{L} \approx 0.016 Ω$

أ. نعم: $0.2 \times 2 π \times 50 = 20 π \approx 62.8 Ω$ .

وشيعةٌ مهملة المقاومة تحت توتّرٍ منتج $100 V$ تمرّ فيها شدّةٌ منتجة $2 A$ . ما الاستطاعة المتوسّطة المستهلكة فيها؟

كيف أبدأ؟ $P_{avg} = U_{eff} I_{eff} \cos φ$ ، وما $φ$ في وشيعةٍ مهملة المقاومة؟

أ) $P_{avg} = 0$
ب) $P_{avg} = 200 W$
ج) $P_{avg} = 50 W$

أ. نعم: $\overset{ˉ}{φ} = \frac{π}{2}$ ، فالوشيعة تختزن الطاقة ربع دورٍ وتعيدها في الربع التالي.

مكثّفةٌ في دارة تيّارٍ متناوبٍ جيبيّ

نتبع الكتاب، الصفحتان 142 و143: نطبّق توتّراً لحظيّاً على مكثّفةٍ غير مشحونة سعتها $C$ ، فيمرّ تيّار $\overset{ˉ}{i} = I_{max} \cos ω t$ .

{\overset{ˉ}{u}}_{C}, X_{C} = ?

1. الشحنة $d \overset{ˉ}{q} = \overset{ˉ}{i} d t$ ، نكامل:
$\overset{ˉ}{q} = \int I_{max} \cos ω t d t = \frac{1}{ω} I_{max} \sin ω t$
2. التوتّر $\overset{ˉ}{u} = \frac{\overset{ˉ}{q}}{C}$ :
$\begin{array}{c} {\overset{ˉ}{u}}_{C} = \frac{1}{ω C} I_{max} \sin ω t \\ {\overset{ˉ}{u}}_{C} = \frac{1}{ω C} I_{max} \cos (ω t - \frac{π}{2}) \end{array}$
3. الممانعة نسمّي $X_{C} = \frac{1}{ω C}$ :
${\overset{ˉ}{u}}_{C} = X_{C} I_{max} \cos (ω t - \frac{π}{2})$

$X_{C}$ ممانعة المكثّفة «وتُسمّى اتّساعيّةَ المُكثِّفة، وتقدَّرُ بوحدةِ الأوم في الجملةِ الدّوليّة» الكتاب، الصفحة 143. والتوتّر يتأخّر عن الشدّة بـ $\frac{π}{2}$ ، وبالقسمة على $\sqrt{2}$ :

U_{eff} = X_{C} I_{eff} X_{C} = \frac{1}{C ω}

تمثيل فرينل للمكثّفة: التوتّر يتأخّر بربع دور، الكتاب، الصفحة 143. الرسم من عندنا.

و $\overset{ˉ}{φ} = - \frac{π}{2}$ ، فـ $\cos φ = 0$ : «فالمُكثِّفةُ لا تستهلكُ أيّةَ طاقةٍ، لأنّها تختزنُ الطّاقةَ كهربائيّاً خلالَ ربعِ دورٍ، وتعيدُها كهربائيّاً في ربعِ الدّورِ الذي يليه» الكتاب، الصفحة 143.

تذكّر: خلاصة العناصر الثلاثة: المقاومة $\overset{ˉ}{φ} = 0$ وتستهلك $R I_{eff}^{2}$ ؛ الوشيعة مهملة المقاومة $\overset{ˉ}{φ} = + \frac{π}{2}$ و $X_{L} = L ω$ تكبر مع التواتر؛ المكثّفة $\overset{ˉ}{φ} = - \frac{π}{2}$ و $X_{C} = \frac{1}{C ω}$ تصغر مع التواتر. الوشيعة مهملة المقاومة والمكثّفة لا تستهلكان استطاعة.

مكثّفةٌ سعتها $\frac{10^{- 4}}{π} F$ في تيّارٍ تواتره $50 H z$ . ما اتّساعيّتها؟

كيف أبدأ؟ $X_{C} = \frac{1}{C ω}$ مع $ω = 100 π r a d . s^{- 1}$ .

أ) $X_{C} = 0.01 Ω$
ب) $X_{C} \approx 628 Ω$
ج) $X_{C} = 100 Ω$

ج. نعم: $C ω = \frac{10^{- 4}}{π} \times 100 π = 10^{- 2}$ ، و $X_{C} = 100 Ω$ .

نضاعف تواتر التيّار المارّ في مكثّفة. اتّساعيّتها:

كيف أبدأ؟ $X_{C} = \frac{1}{C ω}$ .

أ)تتضاعف
ب)تنقص إلى النصف
ج)لا تتغيّر

ب. نعم: $ω$ في المقام، فتنقص $X_{C}$ إلى النصف.