الفيزياء، البكالوريا، الفرع العلمي

الدارة التسلسليّة والطنين

مقاومةٌ ووشيعةٌ ومكثّفة على التسلسل: إنشاء فرينل، وممانعة الدارة، وعامل الاستطاعة، وظاهرة الطنين

الكهرباءُ والمغناطيسيّة . الوحدة 2 . الدرس 5 (3 من 4)

بسيطة

حين نضع المقاومة والوشيعة والمكثّفة معاً على التسلسل لا تُجمع توتّراتها المنتجة كما في التيّار المتواصل، لأنّ كلّاً منها يزيح التوتّر عن الشدّة بقدرٍ مختلف. وإذا تساوت ردّيّة الوشيعة واتّساعيّة المكثّفة بلغ التيّار أكبر قيمة: هذا هو الطنين الذي تُوالَف به أجهزة الاستقبال. نتابع مع الكتاب في الصفحات 144 إلى 146.

مقاومةٌ ووشيعةٌ ومكثّفة على التسلسل

نتبع الكتاب، الصفحة 144: دارةٌ على التسلسل فيها مقاومةٌ أوميّة $R$ ، ووشيعةٌ ذاتيّتها $L$ مقاومتها مهملة، ومكثّفةٌ سعتها $C$ . يمرّ في العناصر الثلاثة التيّار نفسه $\overset{ˉ}{i} = I_{max} \cos ω t$ ، والتوتّرات اللحظيّة تُجمع جبريّاً:

\overset{ˉ}{u} = {\overset{ˉ}{u}}_{R} + {\overset{ˉ}{u}}_{L} + {\overset{ˉ}{u}}_{C}

لكنّها مختلفةٌ في الطور: ${\overset{ˉ}{φ}}_{R} = 0$ ، و ${\overset{ˉ}{φ}}_{L} = + \frac{π}{2}$ ، و ${\overset{ˉ}{φ}}_{C} = - \frac{π}{2}$ . لذلك «التّوتّراتُ المُنتجةُ تُجمعُ هندسيّاً» الكتاب، الصفحة 144، بإنشاء فرينل:

إنشاء فرينل للتوتّرات المنتجة، بقيم المسألة الخامسة، الكتاب، الصفحة 152. الرسم من عندنا، على نمط الصفحة 144.

نتبع الكتاب، الصفحة 144: من الرسم بحسب فيثاغورث، بفرض $U_{L} > U_{C}$ .

U_{eff} = ?

1. فيثاغورث الضلعان القائمان $U_{R}$ و $U_{L} - U_{C}$ :
$U_{eff}^{2} = U_{R}^{2} + (U_{L} - U_{C})^{2}$
2. قوانين أوم $U_{R} = R I_{eff}$ ، $U_{L} = X_{L} I_{eff}$ ، $U_{C} = X_{C} I_{eff}$ :
$U_{eff} = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}} I_{eff}$

«وهو قانونُ أوم في الحالةِ العامّة» الكتاب، الصفحة 144، ومنه ممانعة الدارة وعامل استطاعتها:

\begin{array}{c} U_{eff} = Z I_{eff} \\ Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}} \\ \cos \overset{ˉ}{φ} = \frac{U_{R}}{U_{eff}} = \frac{R}{Z} \end{array}

انتبه: 🚨 لا تجمع التوتّرات المنتجة جمعاً عاديّاً: $U_{eff} \neq U_{R} + U_{L} + U_{C}$ . توتّر الوشيعة وتوتّر المكثّفة متعاكسان، وكلاهما عموديٌّ على توتّر المقاومة.

في دارةٍ على التسلسل $U_{R} = 30 V$ و $U_{L} = 80 V$ و $U_{C} = 40 V$ ، المسألة الخامسة، الكتاب، الصفحة 152. ما التوتّر المنتج الكلّيّ؟

كيف أبدأ؟ $U_{eff} = \sqrt{U_{R}^{2} + (U_{L} - U_{C})^{2}}$ .

أ) $U_{eff} = 150 V$
ب) $U_{eff} = 50 V$
ج) $U_{eff} \approx 94 V$

ب. نعم: $\sqrt{30^{2} + 40^{2}} = 50 V$ .

ثلاث حالات

نمثّل الممانعات بالطريقة نفسها: $R$ على امتداد الشدّة، و $X_{L}$ إلى الأعلى، و $X_{C}$ إلى الأسفل، و $Z$ الوتر. وحسب الفرق $X_{L} - X_{C}$ ثلاث حالات، الكتاب، الصفحة 145:

1. الوشيعة تغلب: $X_{L} > X_{C}$ : يكون التوتّر متقدّماً بالطور على الشدّة، والدارة ذات ممانعةٍ ذاتيّة.

2. المكثّفة تغلب: $X_{L} < X_{C}$ : يكون التوتّر متأخّراً بالطور عن الشدّة، والدارة ذات ممانعةٍ سعويّة.

3. الطنين: $X_{L} = X_{C}$ : يكون التوتّر متّفقاً بالطور مع الشدّة، و $Z = R$ . «وتُسمّى هذه الحالة الطّنين الكهربائيّ أو التّجاوب الكهربائيّ».

الحالات الثلاث، الكتاب، الصفحة 145. الرسم من عندنا.

في دارةٍ على التسلسل $X_{L} = 20 Ω$ و $X_{C} = 50 Ω$ . التوتّر بالنسبة للشدّة:

كيف أبدأ؟ قارن $X_{L}$ بـ $X_{C}$ .

أ)متقدّمٌ بالطور، والدارة ذاتيّة
ب)على توافقٍ بالطور
ج)متأخّرٌ بالطور، والدارة سعويّة

ج. نعم: $X_{L} < X_{C}$ ، فالمكثّفة تغلب.

ظاهرة الطنين

في تجربة الكتاب، الصفحة 145، نغيّر تواتر المولّد ونقيس الشدّة المنتجة، مرّةً بمقاومةٍ كلّيّةٍ صغيرة ومرّةً بكبيرة. الشدّة تكبر ثمّ تصغر، وتبلغ أكبر قيمة عند تواترٍ واحد. وفي جدول الكتاب أرقامٌ لا يتّسق بعضها مع بعض، فرسمنا المنحنيين بقيمٍ من عندنا:

الشدّة المنتجة بدلالة التواتر لدارةٍ فيها

L = \frac{1}{π} H

C = \frac{10^{- 4}}{π} F

U_{eff} = 10 V

، بمقاومتين. قيمٌ من عندنا.

تذكّر: «تحدثُ حالةُ التّجاوبِ الكهربائيّ (الطّنينِ الكهربائيّ) في دارةٍ تحوي على التّسلسُلِ مُقاوَمةً $R$ ، ووشيعةً ذاتيّتُها $L$ ، ومُكثِّفةً سعتُها $C$ ، إذا كانَ النّبضُ الخاصّ لاهتزازِ الإلكتروناتِ الحرّة يُساوي النّبضَ القسريّ الذي يفرضُه المولِّد.» الكتاب، الصفحة 146.

ويتحقّق في حالة الطنين، كما في الكتاب، الصفحة 146: ردّيّة الوشيعة تساوي اتّساعيّة المكثّفة $X_{L} = X_{C}$ ؛ ممانعة الدارة أصغر ما يمكن $Z = R$ ؛ الشدّة المنتجة أكبر ما يمكن $I_{eff} = \frac{U_{eff}}{R}$ ؛ التوتّر على توافقٍ بالطور مع الشدّة، فعامل الاستطاعة يساوي الواحد؛ الاستطاعة المتوسّطة أكبر ما يمكن؛ والتوتّر بين طرفي المنبع يساوي توتّر المقاومة، لأنّ توتّر الوشيعة يساوي توتّر المكثّفة ويعاكسه، وقد يكون كلٌّ منهما كبيراً جدّاً بالنسبة لتوتّر المنبع.

نتبع الكتاب، الصفحة 146: في حالة الطنين $X_{L} = X_{C}$ .

ω_{r}, T_{r} = ?

1. تساوي الممانعتين $ω_{r} L = \frac{1}{ω_{r} C}$ :
$\begin{array}{c} ω_{r}^{2} = \frac{1}{L C} \\ ω_{r} = \frac{1}{\sqrt{L C}} \end{array}$
2. الدور $ω_{r} = \frac{2 π}{T_{r}}$ :
$T_{r} = 2 π \sqrt{L C}$

وهي علاقة طومسون نفسها: الدارة تطنّ حين يفرض المولّد نبضها الخاصّ. وتُستخدم هذه الخاصّيّة في التوليف في أجهزة الاستقبال. في مثال الرسم:

f_{r} = \frac{1}{2 π \sqrt{\frac{1}{π} \cdot \frac{10^{- 4}}{π}}} = 50 H z

في مثال الرسم، $U_{eff} = 10 V$ و $R = 20 Ω$ . ما الشدّة المنتجة عند الطنين؟

كيف أبدأ؟ عند الطنين $Z = R$ .

أ) $I_{eff} = 0.5 A$
ب) $I_{eff} = 0$
ج) $I_{eff} \approx 0.71 A$

أ. نعم: $\frac{10}{20} = 0.5 A$ ، قمّة المنحني الأوّل.

من الكتاب: مسائل

المسألة الخامسة، الكتاب، الصفحة 152: مأخذٌ تواتره $50 H z$ نربط بين طرفيه على التسلسل مقاومةً $R$ ، ووشيعةً مقاومتها مهملة، ومكثّفةً سعتها $C = \frac{1}{2000 π} F$ . التوتّرات المنتجة $30 V$ و $80 V$ و $40 V$ على الترتيب.

U_{eff}, I_{eff}, Z, L, \cos \overset{ˉ}{φ} = ?

1. التوتّر الكلّيّ بإنشاء فرينل:
$U_{eff} = \sqrt{30^{2} + (80 - 40)^{2}} = 50 V$
2. الشدّة $X_{C} = \frac{1}{C ω} = \frac{2000 π}{100 π} = 20 Ω$ :
$I_{eff} = \frac{U_{C}}{X_{C}} = \frac{40}{20} = 2 A$
3. الممانعة والمقاومة $Z = \frac{U_{eff}}{I_{eff}}$ و $R = \frac{U_{R}}{I_{eff}}$ :
$\begin{array}{c} Z = \frac{50}{2} = 25 Ω \\ R = \frac{30}{2} = 15 Ω \end{array}$
4. الذاتيّة $X_{L} = \frac{U_{L}}{I_{eff}} = 40 Ω$ :
$L = \frac{X_{L}}{ω} = \frac{40}{100 π} = \frac{0.4}{π} H$
5. عامل الاستطاعة $\cos \overset{ˉ}{φ} = \frac{U_{R}}{U_{eff}}$ :
$\cos \overset{ˉ}{φ} = \frac{30}{50} = 0.6$

ولتصبح الشدّة أكبر ما يمكن نضيف مكثّفةً $C^{'}$ على التسلسل حتّى تساوي الاتّساعيّة الكلّيّة ردّيّة الوشيعة $X_{L} = 40 Ω$ ، أي $X_{C^{'}} = 20 Ω$ و $C^{'} = \frac{1}{2000 π} F$ . عندئذٍ $Z = R$ :

P_{avg} = \frac{U_{eff}^{2}}{R} = \frac{2500}{15} \approx 167 W

المسألة السادسة، الكتاب، الصفحة 152: مأخذ $U_{eff} = 100 V$ و $50 H z$ على دارةٍ فيها على التسلسل مقاومة $R$ ومكثّفة $C = \frac{1}{4000 π} F$ ، وتوتّر المقاومة $60 V$ . ثمّ نضيف وشيعةً مقاومتها مهملة فتبقى الشدّة نفسها.

R, L, f_{r} = ?

1. المقاومة $X_{C} = 40 Ω$ و $U_{C} = \sqrt{100^{2} - 60^{2}} = 80 V$ :
$\begin{array}{c} I_{eff} = \frac{80}{40} = 2 A \\ R = \frac{60}{2} = 30 Ω \end{array}$
2. الذاتيّة الشدّة نفسها فالممانعة نفسها: $(X_{L} - X_{C})^{2} = X_{C}^{2}$ ، و $X_{L} \neq 0$ :
$\begin{array}{c} X_{L} = 2 X_{C} = 80 Ω \\ L = \frac{80}{100 π} = \frac{0.8}{π} H \end{array}$
3. تواتر الطنين $L C = \frac{0.8}{π} \cdot \frac{1}{4000 π} = \frac{2 \times 10^{- 4}}{π^{2}}$ :
$f_{r} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}} = \frac{1}{2 \sqrt{2} \times 10^{- 2}} \approx 35.4 H z$

الطنين لا يكون عند تواتر المأخذ هنا: الدارة سعويّةٌ قبل إضافة الوشيعة، وذاتيّةٌ بعدها، بالممانعة نفسها:

Z = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = 50 Ω

المسألة الأولى، الطلب الثالث، الكتاب، الصفحة 151: $U_{eff} = 130 V$ و $50 H z$ على التسلسل مع مقاومة $R = 30 Ω$ ، ومكثّفة $C = \frac{1}{4000 π} F$ ، ووشيعةٍ مقاومتها مهملة. ما ذاتيّة الوشيعة لتكون الشدّة أكبر ما يمكن، وما هذه الشدّة؟

L, I_{eff} = ?

1. شرط الطنين $X_{C} = 40 Ω$ ، والشدّة أكبر ما يمكن حين $X_{L} = X_{C}$ :
$L = \frac{40}{100 π} = \frac{2}{5 π} H \approx 0.127 H$
2. الشدّة $Z = R$ :
$I_{eff} = \frac{130}{30} \approx 4.33 A$

في كلّ مسألة طنين نبدأ بالشرط نفسه. ومع وشيعةٍ مهملة المقاومة $Z = R$ ، وإن كانت للوشيعة مقاومة $r$ فالمقاومتان على التسلسل:

\begin{array}{c} X_{L} = X_{C} \\ Z = R + r \end{array}

دارةٌ على التسلسل $R = 30 Ω$ و $X_{L} = 80 Ω$ و $X_{C} = 40 Ω$ . ممانعتها:

كيف أبدأ؟ $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ .

أ) $Z = 50 Ω$
ب) $Z = 150 Ω$
ج) $Z \approx 94 Ω$

أ. نعم: $\sqrt{30^{2} + 40^{2}} = 50 Ω$ .

في الدارة نفسها، $R = 30 Ω$ و $Z = 50 Ω$ . عامل الاستطاعة:

كيف أبدأ؟ $\cos \overset{ˉ}{φ} = \frac{R}{Z}$ .

أ) $\cos \overset{ˉ}{φ} \approx 1.67$
ب) $\cos \overset{ˉ}{φ} = 0.8$
ج) $\cos \overset{ˉ}{φ} = 0.6$

ج. نعم: $\frac{30}{50} = 0.6$ .

نضاعف تواتر المولّد في دارةٍ على التسلسل كانت في حالة طنين. الدارة تصبح:

كيف أبدأ؟ $X_{L} = L ω$ تكبر، و $X_{C} = \frac{1}{C ω}$ تصغر.

أ)ذات ممانعةٍ سعويّة
ب)ذات ممانعةٍ ذاتيّة
ج)في حالة طنين أيضاً

ب. نعم: $X_{L}$ تتضاعف و $X_{C}$ تنقص إلى النصف، فتغلب الوشيعة.