الدارة المهتزّة

نتبع الكتاب، الصفحة 122: دارةٌ على التسلسل فيها وشيعة $(L,r)$، ومكثّفةٌ مشحونة سعتها $C$، ومقاومة $R_0$. نختار اتّجاهاً موجباً للتيّار ونجمع التوتّرات على طول الدارة.

1. 1. التوتّرات بين طرفي المكثّفة، والمقاومة، والوشيعة:
   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\bar{u}}_{ED}={\displaystyle \frac{\bar{q}}{C}}{\bar{u}}_{BE}=R_0\bar{i}}\\ {\displaystyle {\bar{u}}_{AB}=L(\bar{i}{)}_t^{\mathrm{\prime }}+r\bar{i}}\end{array}$$
2. 2. مجموع التوتّرات مجموعها على طول الدارة المغلقة معدوم:
   $$L(\bar{i}{)}_t^{\mathrm{\prime }}+r\bar{i}+R_0\bar{i}+{\displaystyle \frac{\bar{q}}{C}}=0$$
3. 3. بدلالة الشحنة مع $R=R_0+r$ و$\bar{i}=(\bar{q}{)}_t^{\mathrm{\prime }}$:
   $$L(\bar{q}{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+R(\bar{q}{)}_t^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{1}{C}}\bar{q}=0$$

نتبع الكتاب، الصفحة 123: نشتقّ تابع الشحنة مرّتين ونوازن بالمعادلة.

1. 1. المشتقّ الثاني نشتقّ مرّتين بالنسبة للزمن:
   $$\begin{array}{c}{\displaystyle (\bar{q}{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0^2{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })}\\ {\displaystyle (\bar{q}{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0^2\bar{q}}\end{array}$$
2. 2. الموازنة بالموازنة مع $(\bar{q}{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{LC}}\bar{q}$:
   $${\omega }_0^2={\displaystyle \frac{1}{LC}}{\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}$$
3. 3. الدور الخاصّ $T_0={\displaystyle \frac{2\pi }{{\omega }_0}}$:
   $$T_0=2\pi \sqrt{LC}$$

مثال الكتاب، الصفحة 123: مكثّفةٌ مشحونة نصلها بوشيعةٍ مهملة المقاومة، ومبدأ الزمن لحظة إغلاق الدارة، فالشحنة عظمى عند $t=0$ و$\bar{\phi }=0$.

1. 1. تابع الشحنة بشكله المختزل:
   $$\bar{q}=q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos {\omega }_{0}t$$
2. 2. تابع الشدّة تابع الشدّة مشتقّ تابع الشحنة بالنسبة للزمن:
   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \bar{i}=(\bar{q}{)}_t^{\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin {\omega }_{0}t}\\ {\displaystyle \bar{i}={\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})}\end{array}$$

نتبع الكتاب، الصفحة 125: الطاقة الكلّيّة في دارةٍ مهتزّة $(L,C)$ مجموع طاقة المكثّفة وطاقة الوشيعة.

1. 1. المجموع طاقة المكثّفة وطاقة الوشيعة:
   $$E=E_C+E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q^2}{C}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}L{i}^2$$
2. 2. التعويض مع $\bar{q}=q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos {\omega }_{0}t$ و$\bar{i}=-{\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin {\omega }_{0}t$:
   $$E={\displaystyle \frac{q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}{2C}}{\cos }^2{\omega }_{0}t+{\displaystyle \frac{1}{2}}L{\omega }_0^2{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2{\sin }^2{\omega }_{0}t$$
3. 3. الاختصار مع ${\omega }_0^2={\displaystyle \frac{1}{LC}}$ يصبح الحدّ الثاني ${\displaystyle \frac{q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}{2C}}{\sin }^2{\omega }_{0}t$، و${\cos }^2+{\sin }^2=1$:
   $$E={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}{C}}=\text{c<!-- -->o<!-- -->n<!-- -->s<!-- -->t}$$

المسألة المحلولة، الكتاب، الصفحتان 126 و127: نشحن مكثّفةً سعتها $1\mu \mathrm{F}$ تحت توتّر $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{V}$، ثمّ نصلها في اللحظة $t=0$ بوشيعةٍ ذاتيّتها ${\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{H}$ ومقاومتها مهملة. احسب الشحنة والطاقة عند $t=0$، ثمّ التواتر، ثمّ الشدّة العظمى.

1. 1. الشحنة $C={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{F}$:
   $$q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=CU={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\times \mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{C}$$
2. 2. الطاقة الطاقة المختزنة في المكثّفة:
   $$E={\displaystyle \frac{1}{2}}C{U}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{J}$$
3. 3. التواتر $\sqrt{LC}=\sqrt{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}}\approx \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}\mathrm{s}$:
   $$\begin{array}{c}{\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{LC}\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->9}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{s}}\\ {\displaystyle f_0={\displaystyle \frac{1}{T_0}}\approx \mathrm{5<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->3}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3\mathrm{H}\mathrm{z}}\end{array}$$
4. 4. الشدّة العظمى ${\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}$:
   $$I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{\sqrt{LC}}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}}{\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-5}}}\approx \mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->6}\mathrm{A}$$

المسألة الأولى، الكتاب، الصفحة 130: دارةٌ مهتزّة من مكثّفةٍ شحنة كلٍّ من لبوسيها $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mu \mathrm{C}$ إذا طُبّق بينهما $\mathrm{5<!--\; -->0}\mathrm{V}$، ومن وشيعةٍ طولها $\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ وطول سلكها $\mathrm{1<!--\; -->6}\mathrm{m}$ بطبقةٍ واحدة، مقاومتها مهملة. احسب التواتر والشدّة العظمى.

1. 1. السعة $q=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{C}$:
   $$C={\displaystyle \frac{q}{U}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}{\mathrm{5<!--\; -->0}}}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-8}\mathrm{F}$$
2. 2. الذاتيّة كما في الدرس السابق، $L={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}{\displaystyle \frac{{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }2}}{\mathrm{\ell }}}$ مع ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1<!--\; -->6}\mathrm{m}$ و$\mathrm{\ell }=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{m}$:
   $$L={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{2<!--\; -->5<!--\; -->6}}{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}}}=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{H}$$
3. 3. التواتر $\sqrt{LC}=\sqrt{\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}}=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{s}$:
   $$f_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}\approx \mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^4\mathrm{H}\mathrm{z}$$
4. 4. الشدّة العظمى الشحنة العظمى $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}\mathrm{C}$:
   $$I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\displaystyle \frac{q_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}}{\sqrt{LC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-6}}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{A}$$

المسألة الرابعة، الكتاب، الصفحة 131: مكثّفةٌ سعتها ${\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}\mathrm{F}$ تُشحن بفرق كمون ${\mathrm{1<!--\; -->0}}^3\mathrm{V}$، ثمّ توصل بوشيعةٍ ذاتيّتها $\mathrm{1<!--\; -->6}\mathrm{m}\mathrm{H}$ مقاومتها مهملة. احسب الشحنة والطاقة، ثمّ التواتر، واكتب تابعي الشحنة والشدّة ومبدأ الزمن لحظة الوصل.

1. 1. الشحنة والطاقة $q=CU$ و$E={\displaystyle \frac{1}{2}}C{U}^2$:
   $$\begin{array}{c}{\displaystyle q={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}\mathrm{C}}\\ {\displaystyle E={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->2}}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6=5\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-7}\mathrm{J}}\end{array}$$
2. 2. ما يحدث تتفرّغ المكثّفة في الوشيعة فتنشأ اهتزازاتٌ كهربائيّةٌ حرّة، غير متخامدة لأنّ المقاومة مهملة. النبض والتواتر، $L=\mathrm{1<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{H}$:
   $$\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->4}}}}}\approx \mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}}\\ {\displaystyle f_0={\displaystyle \frac{{\omega }_0}{2\pi }}\approx \mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->6}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{H}\mathrm{z}}\end{array}$$
3. 3. تابع الشحنة الشحنة عظمى لحظة الوصل، فـ $\bar{\phi }=0$:
   $$\bar{q}={\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-9}\cos (\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{6}t)$$
4. 4. تابع الشدّة $I_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\omega }_0{q}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\approx \mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{A}$، والشدّة تسبق الشحنة بـ ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$:
   $$\bar{i}=\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\cos (\mathrm{7<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{6}t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$