الفيزياء، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: توابع حركة النوّاس المرن والطاقة

الحركة والتحريك . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. يمثّل الرسم البيانيّ المجاور تغيّرات السرعة مع الزمن لجسمٍ مرتبطٍ بنابضٍ مرنٍ يتحرّك حركةً توافقيّةً بسيطة. ما التابع الزمنيّ للسرعة؟
تغيّرات السرعة $\overset{ˉ}{v}$ مع الزمن $t$ . عن الكتاب، الصفحة 13.
- أ) $\overset{ˉ}{v} = 0.12 π \sin 2 π t$
- ب) $\overset{ˉ}{v} = - 0.12 π \sin 2 π t$
- ج) $\overset{ˉ}{v} = - 0.12 π \sin t$
2. يمثّل الشكل البيانيّ المجاور تغيّرات السرعة بدلالة الزمن لجسمٍ يتحرّك حركةً توافقيّةً بسيطة. ما سعة حركته $X_{max}$ ؟
تغيّرات السرعة $\overset{ˉ}{v}$ بدلالة الزمن $t$ . عن امتحان الدورة الثانية 2022.
- أ) $0.08 m$
- ب) $0.04 m$
- ج) $0.02 m$
3. يمثّل الرسم البيانيّ المجاور تغيّرات السرعة مع الزمن لجسمٍ مرتبطٍ بنابضٍ مرنٍ يتحرّك حركةً توافقيّةً بسيطة. ما التابع الزمنيّ للسرعة؟
تغيّرات السرعة $\overset{ˉ}{v}$ مع الزمن $t$ . عن امتحان الدورة الأولى 2023.
- أ) $\overset{ˉ}{v} = - 0.08 π \sin \frac{π}{2} t$
- ب) $\overset{ˉ}{v} = - 0.08 π \sin π t$
- ج) $\overset{ˉ}{v} = - 0.08 π \cos \frac{π}{2} t$
4. يمثّل الرسم البيانيّ المجاور تغيّرات السرعة مع الزمن لجسمٍ مرتبطٍ بنابضٍ مرنٍ يتحرّك حركةً توافقيّةً بسيطة، وسعة حركته $X_{max} = 0.2 m$ . ما قيمة دوره الخاصّ $T_{0}$ ؟
تغيّرات السرعة $\overset{ˉ}{v}$ مع الزمن $t$ . عن امتحان الدورة الثانية 2023.
- أ) $\frac{1}{2} s$
- ب) $4 s$
- ج) $2 s$
5. يمثّل الشكل المجاور منحني الطاقة بدلالة المطال لهزّازةٍ توافقيّةٍ بسيطة. ما شدّة قوّة الإرجاع في موضعٍ مطاله $x = 4 c m$ ؟
الطاقة الكامنة المرونيّة $E_{p}$ بدلالة المطال بين $- 20 c m$ و $+ 20 c m$ ، وقيمتها عند الطرفين $0.02 J$ . عن امتحان 2025.
- أ) $4 \times 10^{- 4} N$
- ب) $0.02 N$
- ج) $0.04 N$
6. ماذا يحدث للطاقة عند اقتراب الجسم من مركز الاهتزاز في نوّاسٍ مرنٍ أفقيّ؟
- أ)تنقص الطاقة الكامنة المرونيّة، وتزداد الطاقة الحركيّة.
- ب)تزداد الطاقة الكامنة المرونيّة، وتنقص الطاقة الحركيّة.
- ج)تزداد الطاقة الحركيّة، وتبقى الطاقة الكامنة المرونيّة ثابتة.
7. متى تكون سرعة الجسم في الهزّازة التوافقيّة البسيطة عظمى؟
- أ)حين $\overset{ˉ}{x} = + X_{max}$ و $a = 0$ .
- ب)حين $\overset{ˉ}{x} = 0$ و $a = 0$ .
- ج)حين $\overset{ˉ}{x} = 0$ و $a = a_{max}$ .
8. نابضٌ مرنٌ شاقوليٌّ مهمل الكتلة، حلقاته متباعدة، ثابت صلابته $k = 40 N . m^{- 1}$ ، نعلّق به جسماً صلباً كتلته $1 k g$ . المحور الشاقوليّ موجّهٌ نحو الأسفل. نزيح الجسم عن موضع توازنه نحو الأسفل بمقدار $8 c m$ ، ونتركه دون سرعةٍ ابتدائيّة في اللحظة $t = 0$ . أيّ تابعٍ يصف مطاله مقدّراً بالمتر؟ نأخذ $π^{2} = 10$ .
- أ) $\overset{ˉ}{x} = 0.08 \cos 2 π t$
- ب) $\overset{ˉ}{x} = 0.8 \cos 2 π t$
- ج) $\overset{ˉ}{x} = 0.08 \cos (2 π t + \frac{π}{2})$
9. نوّاسٌ مرنٌ أفقيّ، ثابت صلابة نابضه $k$ وسعة حركته $X_{max}$ . ما طاقته الحركيّة حين يمرّ بالموضع ${\overset{ˉ}{x}}_{A} = - \frac{X_{max}}{2}$ ؟
- أ) $E_{k} = \frac{3}{8} k X_{max}^{2}$
- ب) $E_{k} = \frac{1}{8} k X_{max}^{2}$
- ج) $E_{k} = \frac{1}{4} k X_{max}^{2}$
10. يمرّ جسمٌ في نوّاسٍ مرنٍ غير متخامد بالموضع $x = \frac{X_{max}}{2}$ . ما طويلة سرعته؟
- أ) $v = \frac{1}{2} ω_{0} X_{max}$
- ب) $v = \frac{3}{4} ω_{0} X_{max}$
- ج) $v = \frac{\sqrt{3}}{2} ω_{0} X_{max}$
11. التابع الزمنيّ لمطال نوّاسٍ مرن $\overset{ˉ}{x} = 0.05 \cos 10 π t$ ، مقدّراً بالمتر. ما أقصر مدّةٍ تتكرّر بعدها قيم طاقته الحركيّة؟
- أ) $0.2 s$
- ب) $0.1 s$
- ج) $0.05 s$
12. التابع الزمنيّ لمطال نوّاسٍ مرن $\overset{ˉ}{x} = X_{max} \cos (ω_{0} t + \overset{ˉ}{φ})$ . في اللحظة $t = 0$ يمرّ الجسم بالموضع $\overset{ˉ}{x} = + \frac{X_{max}}{2}$ وهو يتحرّك بالاتّجاه السالب. ما طوره الابتدائيّ $\overset{ˉ}{φ}$ ؟
- أ) $\overset{ˉ}{φ} = - \frac{π}{3} r a d$
- ب) $\overset{ˉ}{φ} = + \frac{π}{6} r a d$
- ج) $\overset{ˉ}{φ} = + \frac{π}{3} r a d$

سلّم التصحيح

1. ب نعم. المنحني يتمّ دوراً واحداً بين $0$ و $1 s$ ، فـ $T_{0} = 1 s$ و $ω_{0} = \frac{2 π}{T_{0}} = 2 π r a d . s^{- 1}$ . والسرعة تبدأ من الصفر وتنزل إلى القيم السالبة، كما في $\overset{ˉ}{v} = - ω_{0} X_{max} \sin ω_{0} t$ ، وطويلتها العظمى $0.12 π m . s^{- 1}$ . هذا سؤال الكتاب في الصفحة 13.
2. ب نعم. عند $t = \frac{1}{2} s$ يكون الجسم قد أتمّ نصف دور، فالدور $T_{0} = 1 s$ و $ω_{0} = 2 π r a d . s^{- 1}$ . ومن $v_{max} = ω_{0} X_{max}$ : $X_{max} = \frac{0.08 π}{2 π} = 0.04 m$ . هذا سؤال امتحان الدورة الثانية 2022.
3. أ نعم. المنحني يتمّ دوراً واحداً في $4 s$ ، فـ $ω_{0} = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2} r a d . s^{- 1}$ . والسرعة تبدأ من الصفر وتنزل إلى القيم السالبة، فتابعها $- \sin$ ، وطويلتها العظمى $0.08 π m . s^{- 1}$ . هذا سؤال امتحان الدورة الأولى 2023.
4. ج نعم. من الشكل $v_{max} = 0.2 π m . s^{- 1}$ ، ومن $v_{max} = ω_{0} X_{max}$ : $ω_{0} = \frac{0.2 π}{0.2} = π r a d . s^{- 1}$ ، فـ $T_{0} = \frac{2 π}{ω_{0}} = 2 s$ . هذا سؤال امتحان الدورة الثانية 2023.
5. ج نعم. في الموضعين الطرفيّين الطاقة كلّها كامنة: $E_{tot} = \frac{1}{2} k X_{max}^{2}$ ، فـ $k = \frac{2 \times 0.02}{{0.2}^{2}} = 1 N . m^{- 1}$ . وشدّة قوّة الإرجاع $F = k x = 1 \times 0.04 = 0.04 N$ . هذا سؤال امتحان 2025.
6. أ نعم. المطال يصغر، فتصغر $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$ ، والطاقة الكليّة ثابتة، فما تخسره الكامنة تكسبه الحركيّة، حتّى تصير الطاقة كلّها حركيّةً في المركز. هذا سؤال امتحان 2025، وأضفنا هنا أنّ النوّاس أفقيّ.
7. ب نعم. في مركز الاهتزاز ينعدم المطال، فينعدم التسارع $\overset{ˉ}{a} = - ω_{0}^{2} \overset{ˉ}{x}$ ، وتكون طويلة السرعة أعظميّة: $v_{max} = ω_{0} X_{max}$ . هذا سؤال امتحان 2025.
8. أ نعم. $ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{40}$ ، و $40 = 4 π^{2}$ بأخذ $π^{2} = 10$ ، فـ $ω_{0} = 2 π r a d . s^{- 1}$ . والجسم يبدأ ساكناً على بعد $0.08 m$ في الاتّجاه الموجب، فهذا مطاله الأعظميّ، و $\overset{ˉ}{φ} = 0$ . هذا سؤال امتحان 2025، ولم تُذكر فيه جهة الإزاحة، فأضفناها هنا.
9. أ نعم. $E_{p} = \frac{1}{2} k {(- \frac{X_{max}}{2})}^{2}$ ، والإشارة السالبة تختفي بالتربيع: $E_{p} = \frac{1}{8} k X_{max}^{2}$ . والباقي حركيّ: $E_{k} = E_{tot} - E_{p}$ ، أي $E_{k} = \frac{1}{2} k X_{max}^{2} - \frac{1}{8} k X_{max}^{2}$ ، فـ $E_{k} = \frac{3}{8} k X_{max}^{2}$ . هذا الموضع $A$ من سؤال الكتاب في الصفحة 14.
10. ج نعم. الطاقة الميكانيكيّة ثابتة: $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k X_{max}^{2}$ ، ومع $\frac{k}{m} = ω_{0}^{2}$ نصل إلى $v = ω_{0} \sqrt{X_{max}^{2} - x^{2}}$ ، وهي العلاقة التي يطلب الكتاب إثباتها في الصفحة 14. نعوّض $x = \frac{X_{max}}{2}$ : $v = ω_{0} \sqrt{\frac{3}{4} X_{max}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ω_{0} X_{max}$ .
11. ب نعم. $ω_{0} = 10 π r a d . s^{- 1}$ ، فـ $T_{0} = \frac{2 π}{10 π} = 0.2 s$ . والطاقة الحركيّة $E_{k} = E_{tot} \sin^{2} ω_{0} t$ تتكرّر كلّ نصف دور: $\frac{T_{0}}{2} = 0.1 s$ .
12. ج نعم. من المطال $\cos \overset{ˉ}{φ} = \frac{1}{2}$ ، وللمعادلة حلّان $\pm \frac{π}{3}$ . والسرعة تفصل بينهما: $\overset{ˉ}{v} (0) = - ω_{0} X_{max} \sin \overset{ˉ}{φ}$ سالبة، فـ $\sin \overset{ˉ}{φ} > 0$ و $\overset{ˉ}{φ} = + \frac{π}{3}$ . هكذا تبدأ المسألة الرابعة في الكتاب، الصفحة 15.