ورقة تمارين: النوّاس الثقليّ المركّب

1. جسمٌ صلبٌ يمكن أن يدور حول محورٍ ثابت. متى يهتزّ بتأثير ثقله نوّاساً ثقليّاً مركّباً؟

• أ)حين يكون المحور أفقيّاً ولا يمرّ من مركز عطالته.
• ب)حين يكون المحور أفقيّاً ويمرّ من مركز عطالته.
• ج)حين يكون المحور شاقوليّاً ولا يمرّ من مركز عطالته.

2. نوّاسٌ ثقليٌّ مركّب غير متخامد كتلته $m$، وعزم عطالته حول محور دورانه $I_{\mathrm{\Delta }}$، ومركز عطالته على بعد $d$ من المحور. ما المعادلة التفاضليّة لحركته، دون أيّ تقريبٍ في السعة؟

• أ)$(\bar{\theta }{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{mgd}{I_{\mathrm{\Delta }}}}\bar{\theta }$
• ب)$(\bar{\theta }{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{mgd}}\sin \bar{\theta }$
• ج)$(\bar{\theta }{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{mgd}{I_{\mathrm{\Delta }}}}\sin \bar{\theta }$

3. في النوّاس الثقليّ المركّب تؤثّر قوّتان: الثقل وردّ فعل محور الدوران. لماذا لا يظهر عزم ردّ فعل المحور في المعادلة التفاضليّة؟

• أ)لأنّ ردّ فعل المحور صغيرٌ بالنسبة للثقل، فنهمل عزمه.
• ب)لأنّ ردّ فعل المحور يعاكس الثقل، فيُلغي عزمُه عزمَ الثقل.
• ج)لأنّ حامل ردّ فعل المحور يمرّ من محور الدوران، فعزمه حوله معدوم.

4. نوّاسٌ ثقليٌّ مركّب غير متخامد. بأيّ سعةٍ زاويّةٍ من الآتية نعدّ حركته جيبيّةً دورانيّة؟

• أ)${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{2<!--\; -->0}}^{\circ }$
• ب)${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}={\mathrm{1<!--\; -->2}}^{\circ }$
• ج)${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

5. ساقٌ شاقوليّةٌ مهملة الكتلة طولها $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8}\mathrm{m}$، تهتزّ حول محورٍ أفقيٍّ يمرّ من نقطةٍ منها على بعد $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}$ من طرفها العلويّ. في طرفها العلويّ كتلةٌ نقطيّةٌ $m_1=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{k}\mathrm{g}$، وفي طرفها السفليّ كتلةٌ نقطيّةٌ $m_2=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}\mathrm{k}\mathrm{g}$. ما بعد مركز عطالة الجملة عن المحور؟

• أ)$d=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{m}$
• ب)$d=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{m}$
• ج)$d=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}$

6. ساقٌ متجانسةٌ طولها $L=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}$ وكتلتها $M=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}$، تهتزّ حول محورٍ أفقيٍّ عموديٍّ عليها يمرّ من نقطةٍ على بعد $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{m}$ من طرفها العلويّ. ما عزم عطالتها حول هذا المحور؟ علماً أنّ $I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->2}}}M{L}^2$.

• أ)$I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->6<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2$
• ب)$I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->8<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2$
• ج)$I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->2<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2$

7. ساقٌ متجانسةٌ طولها $L$ وكتلتها $M$، تهتزّ حول محورٍ أفقيٍّ يمرّ من طرفها العلويّ، وفي طرفها السفليّ كتلةٌ نقطيّةٌ ${\displaystyle \frac{M}{2}}$. ما الدور الخاصّ لهذا النوّاس في السعات الزاويّة الصغيرة؟ علماً أنّ عزم عطالة الساق وحدها حول هذا المحور ${\displaystyle \frac{1}{3}}M{L}^2$.

• أ)$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{5L}{3g}}}$
• ب)$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{2L}{3g}}}$
• ج)$T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{5L}{6g}}}$

8. ساقٌ شاقوليّةٌ مهملة الكتلة طولها $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->7<!--\; -->2}\mathrm{m}$، تهتزّ حول محورٍ أفقيٍّ يمرّ من منتصفها. في طرفها العلويّ كتلةٌ نقطيّةٌ $m_1=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{k}\mathrm{g}$، وفي طرفها السفليّ كتلةٌ نقطيّةٌ $m_2=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}$. ما دورها الخاصّ في السعات الزاويّة الصغيرة؟ نأخذ $g=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$.

• أ)$T_0=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->4}\mathrm{s}$
• ب)$T_0=\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{s}$
• ج)$T_0=2\mathrm{s}$

9. قرصٌ متجانسٌ نصف قطره $r=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}$ وكتلته $M$، يهتزّ في مستوٍ شاقوليّ حول محورٍ أفقيٍّ عموديٍّ على مستويه يمرّ من نقطةٍ على محيطه. ما طول النوّاس البسيط المواقت له؟ علماً أنّ $I_{\mathrm{\Delta }\mathrm{/}c}={\displaystyle \frac{1}{2}}M{r}^2$.

• أ)$l=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{m}$
• ب)$l=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{m}$
• ج)$l=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}\mathrm{m}$

10. نوّاسٌ ثقليٌّ مركّب يهتزّ بسعةٍ زاويّةٍ صغيرة، ومركز عطالته تحت المحور. نثبّت عليه كتلةً نقطيّةً صغيرةً فوق المحور، ويبقى مركز عطالة الجملة تحت المحور. كيف يتغيّر دوره الخاصّ؟

• أ)يقصر، لأنّ الكتلة الكليّة تزداد.
• ب)يطول.
• ج)لا يتغيّر، لأنّ الكتلة تُختصر من علاقة الدور.

11. ننقل نوّاساً ثقليّاً مركّباً من الأرض إلى سطح القمر، حيث تسارع الجاذبيّة أصغر. كيف يتغيّر طول النوّاس البسيط المواقت له؟

• أ)يكبر، لأنّ $g$ أصغر.
• ب)يصغر، لأنّ الدور يكبر.
• ج)لا يتغيّر.

12. نوّاسٌ ثقليٌّ مركّب كتلته $m=2\mathrm{k}\mathrm{g}$، وعزم عطالته حول محور دورانه $I_{\mathrm{\Delta }}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2$، ومركز عطالته على بعد $\mathrm{2<!--\; -->5}\mathrm{c}\mathrm{m}$ من المحور. ما دوره الخاصّ في السعات الزاويّة الصغيرة؟ نأخذ $g=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$ و${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$.

• أ)$T_0=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2}\mathrm{s}$
• ب)$T_0=2\mathrm{s}$
• ج)$T_0=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{s}$