النوّاس الثقليّ البسيط

ما النوّاس الثقليّ البسيط؟

يعرّف الكتاب النوّاس الثقليّ البسيط في الصفحة 29 مرّتين: نظريّاً، ثمّ عمليّاً كما نصنعه في المخبر.

تذكّر: «نظريّاً: نقطةٌ ماديّةٌ تهتزّ بتأثير ثقلها على بُعد ثابت $l$ من محور أفقيّ ثابت.» «عمليّاً: كرةٌ صغيرةٌ كتلتُها $m$ كثافتُها النسبيّة كبيرةٌ معلّقةٌ بخيطٍ مهملِ الكتلة لا يمتط طولُهُ $l$ كبير بالنسبة لنصف قطر الكرة.» الكتاب، الصفحة 29.

التعريف النظريّ نموذج: كتلة النوّاس كلّها في نقطةٍ على بعدٍ ثابت $l$ من المحور. والشروط العمليّة تقرّب الكرة الحقيقيّة منه: الكرة صغيرةٌ والخيط طويلٌ بالنسبة لنصف قطرها فنعدّها نقطة، والخيط مهمل الكتلة فالكتلة كلّها في الكرة، ولا يمتطّ فيبقى بعدها عن المحور ثابتاً، والكثافة النسبيّة الكبيرة تجعل أثر الهواء في الكرة صغيراً بالنسبة لثقلها.

وفي عنوان الدرس في الكتاب، الصفحة 25: «النوّاس الثقليّ غيرُ المتخَامدِ». نُهمل ما يبدّد الطاقة، فلا تتناقص سعة الاهتزاز مع الزمن، وعلى هذا الفرض تقوم هذه الصفحة كلّها. وقد طلب امتحان الدورة الثانية 2022 التعريف النظريّ نفسه.

المعادلة التفاضليّة والدور الخاصّ

يدرس الكتاب حركة الكرة في الصفحة 29 بالعلاقة الأساسيّة في التحريك الدورانيّ، كما درس حركة نوّاس الفتل. القوى الخارجيّة المؤثّرة في الكرة اثنتان: ثقلها $\vec{w}=m\vec{g}$، وتوتّر الخيط $\vec{T}$. والكرة تدور حول محورٍ أفقيّ $\mathrm{\Delta }$ يمرّ من طرف الخيط العلويّ، والجهة الموجبة للدوران عكس جهة دوران عقارب الساعة، وهي في الشكل جهة إزاحة الكرة.

انتبه: 🚨 في شكل الكتاب، الصفحة 29، طُبع مسقط الثقل على المماس $\omega \sin \theta$، وهو خطأٌ مطبعيّ: الحرف $\omega$ للسرعة الزاويّة وللنبض. والصحيح $w\sin \theta$ كما في الشكل هنا، وكما طبعه الكتاب نفسه في شكل الصفحة 32.

وهذا بعينه ما طلبه امتحان الدورة الثانية 2023: القوى الخارجيّة المؤثّرة في الكرة، ثمّ دراسة حركتها بالعلاقة الأساسيّة في التحريك الدورانيّ وتحديد طبيعتها، ثمّ ما تصير إليه في السعات الزاويّة الصغيرة. والخطوات أدناه على ترتيب سلّم تصحيحه، وفي آخرها الدور الخاصّ كما في الكتاب.

انتبه: 🚨 كتبنا هذا الحلّ كما صحّحته «تعديلات كتاب الفيزياء» لطبعة 2021-2022، والصفحة 29 من طبعتنا لم تأخذ بالتصحيح كلّه: فيها $\sum \vec{\mathrm{\Gamma }}$ بسهمٍ ودون الدليل $\mathrm{\Delta }$، والصحيح $\sum {\bar{\mathrm{\Gamma }}}_{\mathrm{\Delta }}$، لأنّ عزم القوّة حول محورٍ مقدارٌ جبريّ؛ وليس فيها السطر ${\bar{\mathrm{\Gamma }}}_{\vec{T}\mathrm{/}\mathrm{\Delta }}=0$ وسببه، والسطر نفسه في سلّم تصحيح الدورة الثانية 2023؛ وفيها $\sin \theta$ دون الخطّ فوق $\theta$، و$\bar{\theta }$ هنا مقدارٌ جبريّ.

طريقة ثانية وحالة خاصّة

وفي الصفحة 30 يبدأ الكتاب طريقةً ثانية إلى المعادلة نفسها: قانون نيوتن الثاني، ثمّ الإسقاط على المماس. لكنّه يتوقّف قبل سطرها الأخير، فأكملناه نحن، وهو مُعلَّمٌ في الخطوة الأخيرة.

وفي «ملاحظة» الصفحة 29 طريقٌ ثالثٌ إلى الدور. ففي الصفحة 28 علاقةٌ عامّةٌ لدور النوّاس الثقليّ المركّب في حالة الاهتزازات صغيرة السعة، $T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{I_{\mathrm{\Delta }}}{mgd}}}$، حيث $d$ بعد محور الدوران عن مركز عطالة الجسم، وهي موضوع صفحة النوّاس الثقليّ المركّب. والنوّاس البسيط حالةٌ خاصّةٌ منه: كتلته كلّها في الكرة، على بعد $l$ من المحور.

تذكّر: «يمكنُ الوصولُ لعلاقةِ الدّور الخاصّ للنوّاس البسيط انطلاقاً من العلاقة العامّة للدّور الخاصّ للنوّاس الثقليّ المركّب في حالة السّعات الزاويّة الصغيرة، وذلك بتعويض كلٍّ من: $d=l$، $I_{\mathrm{\Delta }}=m{l}^2$» الكتاب، الصفحة 29.

التجربة: ممّ يتعلّق الدور؟

وفي الصفحة 30 نشاطٌ يقيس دور النوّاس، أدواته كراتٌ مختلفة الكتلة وحاملٌ معدنيّ ومنقلةٌ وخيطٌ وميقاتيّة. نعلّق كرةً معدنيّة بخيطٍ عديم الامتطاط طوله $\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$، ونزيحها عن الشاقول بزاويةٍ صغيرة ${\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\circ }$ ونتركها دون سرعةٍ ابتدائيّة، ونقيس زمن عشر نوسات $t_1$، فزمن النوسة الواحدة $T_{0_1}={\displaystyle \frac{t_1}{\mathrm{1<!--\; -->0}}}$. ونقيس عشر نوسات لا نوسةً واحدة، ليتوزّع خطأ اليد في تشغيل الميقاتيّة وإيقافها على النوسات العشر. ثمّ نكرّر القياس بكرةٍ من الخشب، ثمّ بزوايا ${\mathrm{1<!--\; -->4}}^{\circ }$ و${\mathrm{3<!--\; -->0}}^{\circ }$ و${\mathrm{4<!--\; -->5}}^{\circ }$، ثمّ بخيطٍ طوله مختلف. وفي آخر النشاط سؤال: كيف يتغيّر الدور بتغيّر تسارع الجاذبيّة الأرضيّة مع ثبات طول الخيط؟

تذكّر: «لا يتعلّقُ دورُ النوّاس البسيط بكتلته، ولا بنوع مادّة كرته.» «النوسات صغيرة السّعة لها الدورُ نفسُه (متواقتة فيما بينها).» «يتناسبُ دورُ النوّاس البسيط من أجل السعات الزاويّة الصغيرة: طرداً مع الجذر التربيعيّ لطول الخيط $l$. عكساً مع الجذر التربيعيّ لتسارع الجاذبيّة الأرضيّة $g$.» الكتاب، الصفحة 31، «أستنتج».

والعلاقة $T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l}{g}}}$ تقول ذلك كلّه: ليس فيها كتلةٌ ولا سعة، وطول الخيط تحت الجذر في البسط، وتسارع الجاذبيّة تحته في المقام. ومن هذه النتائج سؤالٌ في امتحان عام 2025، اختيارٌ من متعدّد: ننقل النوّاس إلى منطقةٍ ينقص فيها تسارع الجاذبيّة الأرضيّة، فيزداد دوره الخاصّ.

ويلاحظ الكتاب في الصفحة نفسها: «إنّ مستويَ النّوَسانِ ثابتٌ طيلةَ مدّة إجراء التجربة.» فالكرة تبقى في أثناء التجربة تهتزّ في المستوي الشاقوليّ الذي تركناها فيه.

وفي المحاكاة أدناه نوّاس النشاط: طول خيطه $\mathrm{3<!--\; -->0}\mathrm{c}\mathrm{m}$، ويُترك من ${\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\circ }$. ومعه مقادير النشاط، طول الخيط وكتلة الكرة والسعة الزاويّة، وتسارع الجاذبيّة الأرضيّة الذي لا نغيّره في المخبر، وميقاتيّةٌ تقيس زمن عشر نوسات وتكتب القياسات في جدول.

انتبه: 🚨 النوّاس الثقليّ البسيط ليس كالنوّاس المرن ونوّاس الفتل في أمر السعة: دوره لا يتعلّق بالسعة ما دامت صغيرة، ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\le \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، فإذا كبرت طال الدور، كما في الفقرة التالية. أمّا كتلة الكرة فلا تغيّره.

السعات الزاويّة الكبيرة

ثمّ يسأل الكتاب في الصفحة 31: «إنّ الدراسةَ السابقةَ للنوّاس الثقليّ (المركّب أو البسيط) كانت من أجل السّعات الزاويّة الصغيرة (${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\le {\mathrm{1<!--\; -->4}}^{\circ }$) ولكن كيف نحسبُ دورَ النوّاس إذا كانت السّعة الزاويّة كبيرة؟» والحدّ ${\mathrm{1<!--\; -->4}}^{\circ }$ هو $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ تقريباً، فالكتاب يكتبه بالطريقتين. وجوابه علاقةٌ يعطيها دون برهان:

ومتى نستعمل كلّاً من العلاقتين؟ يجيب الكتاب في «تعلّمت»، الصفحة 34: $T_0=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{l}{g}}}$ في حالة السعات الصغيرة ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\le \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، و$T_0^{\mathrm{\prime }}$ في حال السعات الزاويّة الكبيرة ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}>\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$. وحساب $T_0^{\mathrm{\prime }}$ طُلب في امتحانات البكالوريا في 2020 و2024.

وفي الصفحة نفسها رسمٌ بيانيٌّ لقياساتٍ لا ننقله، لأنّه يخالف العلاقة التي تحته: نقاطه تجعل الدور عند ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$ أطول بنحو النصف من دوره في السعات الصغيرة، وقرب ${\mathrm{9<!--\; -->0}}^{\circ }$ أكثر من ثلاثة أضعافه، والعلاقة لا تعطي هناك إلّا نحو $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->7}{T}_0$ و$\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->5}{T}_0$.

والعلاقة نفسها تقريبيّة. وتحت المحاكاة في الفقرة السابقة يظهر معها الحساب الدقيق للدور، وهو ليس في درس الكتاب بل من عندنا: يكاد المنحنيان ينطبقان حتّى نحو ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$، ثمّ يرتفع الحساب الدقيق قليلاً فوق العلاقة.

انتبه: 🚨 قبل أن تختار العلاقة انظر إلى السعة: إذا كانت ${\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}>\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->4}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ فالدور $T_0^{\mathrm{\prime }}$ لا $T_0$. وفي الحدّ ${\displaystyle \frac{{\theta }_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}^2}{\mathrm{1<!--\; -->6}}}$ تُعوَّض السعة بالراديان: ${\mathrm{6<!--\; -->0}}^{\circ }$ هي ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$، لا $\mathrm{6<!--\; -->0}$.

مثالٌ محلول

وليس في الصفحات 29 إلى 31 مثالٌ محلول، فهذا مثالٌ من عندنا يجمع ما سبق، بالقيمتين التقريبيّتين اللتين تستعملهما مسائل الامتحانات: ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$ و$g=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}$.