الحركة التوافقيّة البسيطة والنوّاس المرن

الحركة الاهتزازيّة

في الأنشطة الثلاثة الأولى من الكتاب ثلاث حركات. منشارٌ لقطع المعادن يروح ويجيء، يحرّكه محرّكٌ كهربائيٌّ يدور بسرعةٍ زاويّةٍ ثابتة. وكرةٌ صغيرةٌ مثبّتةٌ على قرصٍ يدور، يُسلَّط عليها ضوءٌ أفقيّ، فيصعد خيالها وينزل على مستوٍ شاقوليّ. وكرةٌ معدنيّةٌ تُترك على طرف وعاءٍ أملس مقعّر، فتذهب وتعود حول النقطة $A$ في قعره.

يجمع المنشارَ والخيالَ والكرةَ أنّ كلّاً منها يتحرّك إلى جانبَي نقطةٍ ثابتة، ويمرّ بها ثمّ يتجاوزها ثمّ يعود. ولا يدخل في ذلك القرص نفسه ولا البكرة: هما يدوران.

تذكّر: «الحركةُ الاهتزازيّةُ: حركة جسمٍ يهتزُّ إلى جانبَي نقطةٍ ثابتةٍ تُسمّى مركزَ الاهتزاز.» ثمّ يضيف الكتاب أنّ حركة اهتزاز جسمٍ صُلْبٍ معلّقٍ بنابضٍ مرنٍ حلقاتُه متباعدة هي أوضح مثالٍ على الحركة التوافقيّة البسيطة، ويُدعى هذا النوّاسَ المرن. الكتاب، الصفحة 4.

من الدوران إلى الاهتزاز

في النشاط (4) تدور نقطةٌ ماديّةٌ $M$ حركةً دائريّةً منتظمةً سرعتها الزاويّة ${\omega }_0$، وشعاع موضعها $\overrightarrow{OM}$ طويلته $X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$. نُسقط $M$ على المحور $\overrightarrow{x^{\mathrm{\prime }}x}$، وهو في الشكل شاقوليٌّ موجّهٌ نحو الأسفل كما في الكتاب. يسمّي الكتاب هذا الربط تمثيل فرينل.

تتبّع الآن المسقط في أربع لحظات. الزاوية بين الشعاع والمحور تكبر بانتظام، أمّا المسقط فيصعد وينزل بين $-X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ و$+X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، تماماً كالجسم على النابض.

النوّاس المرن في حالة السكون

النوّاس المرن جسمٌ صُلْبٌ معلّقٌ بنابضٍ مرنٍ مهمل الكتلة حلقاته متباعدة. في النشاط (5) نعلّق به كرةً كتلتها $m$ فيستطيل النابض، ثمّ نشدّها نحو الأسفل ونتركها. تابع الحالات الثلاث في الصور، والقوى مرسومةٌ بمقياسٍ واحد.

في الحالة $A$ الكرة ساكنة، وتؤثّر فيها قوّتان: ثقلها $\vec{w}$ وقوّة توتّر النابض $\overrightarrow{F_{s_0}}$. ولأنّها ساكنة فمحصّلتهما معدومة: $\vec{w}+\overrightarrow{F_{s_0}}=\vec{0}$. وبالإسقاط على محورٍ شاقوليٍّ موجّهٍ نحو الأسفل نجد $w-F_{s_0}=0$، أي $w=F_{s_0}$. والنابض يستطيل $x_0$ بالقوّة $\overrightarrow{F_{s_0}^{\mathrm{\prime }}}$ التي تؤثّر فيه، وشدّتها $F_{s_0}^{\mathrm{\prime }}=F_{s_0}=k{x}_0$.

انتبه: 🚨 الاستطالة السكونيّة $x_0$ ليست سعة الاهتزاز. هي تحدّد موضع التوازن، أي مركز الاهتزاز، أمّا السعة $X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ فهي أبعد ما يبتعده الجسم عن هذا المركز. فإذا شددناه عن موضع التوازن ثمّ تركناه دون سرعةٍ ابتدائيّة، كانت السعة هي مسافة هذا الشدّ.

قوّة الإرجاع

في الحالة $B$ نشدّ الكرة نحو الأسفل فيصير لها مطالٌ $\bar{x}$ عن موضع التوازن، ثمّ نتركها في الحالة $C$. القوّتان المؤثّرتان في مركز عطالتها ما زالتا الثقل $\vec{w}$ وقوّة توتّر النابض $\overrightarrow{F_s}$، لكنّ محصّلتهما لم تعد معدومة. ما يلي هو حساب الكتاب في الصفحتين 6 و7، وهو نفسه ما طلبه امتحان الدورة الأولى 2024 خطوةً خطوة.

انتبه: 🚨 لا تُدخل الثقل في قوّة الإرجاع مرّةً ثانية. هو موجودٌ في الحساب، لكنّه يُختصر مع $k{x}_0$ لأنّ $w=k{x}_0$، ولهذا لا يظهر $mg$ في $\bar{F}=-k\bar{x}$.

طبيعة الحركة: المعادلة التفاضليّة

يتغيّر مطال الجسم زيادةً ونقصاناً بمرور الزمن، فما طبيعة هذه الحركة؟ هكذا يسأل الكتاب في الصفحة 7. محصّلة القوى المؤثّرة في مركز عطالة الجسم $\bar{F}=m\bar{a}=-k\bar{x}$، ومنها $\bar{a}=-{\displaystyle \frac{k}{m}}\bar{x}$. والتسارع هو المشتقّ الثاني للمطال بالنسبة للزمن، فنكتب:

وهي معادلةٌ تفاضليّةٌ من المرتبة الثانية. البرهان التالي، أنّ حلّها جيبيّ، طُلب للنوّاس المرن في امتحانات البكالوريا في 2019 و2022 و2026، وطُلب مثله لنوّاس الفتل وللنوّاس الثقليّ. الخطوات أدناه بترتيب سلّم تصحيح امتحان 2026 في دمشق.

انتبه: 🚨 أهمّ إشارةٍ في هذا الدرس هي الإشارة السالبة، في قوّة الإرجاع وفي المشتقّين معاً. بدونها تصير المعادلة $(\bar{x}{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=+{\displaystyle \frac{k}{m}}\bar{x}$، وحلّها لا يهتزّ بل يبتعد عن المركز.

الدور الخاصّ

تذكّر: ندعو كلّاً من $X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ و${\omega }_0$ و$\bar{\phi }$ ثوابت الحركة. الكتاب، الصفحة 8.

الدور الخاصّ $T_0$ هو مدّة هزّةٍ كاملة: يعود بعدها الجسم إلى الموضع نفسه، متحرّكاً في الاتّجاه نفسه. يجمع الكتاب العلاقتين ${\omega }_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}$ و${\omega }_0={\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}$، وهي الخطوة الأخيرة من البرهان السابق.

تذكّر: من هذه العلاقة يستنتج الكتاب أنّ الدور الخاصّ: لا يتعلّق بسعة الاهتزاز $X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، ويتناسب طرداً مع الجذر التربيعيّ لكتلة الجسم المهتزّ $m$، ويتناسب عكساً مع الجذر التربيعيّ لثابت صلابة النابض $k$.

انتبه: 🚨 اكتب الدليل $0$ دائماً: ${\omega }_0$ و$T_0$، لا $\omega$ و$T$. في سلالم التصحيح تُخصم درجةٌ لمن يكتب $\omega$ مكان ${\omega }_0$ أو $T$ مكان $T_0$.

جرّب ذلك بنفسك. يرسم الجسم حركته على ورقٍ يسير بسرعةٍ ثابتة كما في الكتاب، الصفحة 7، فيظهر الخطّ الجيبيّ. غيّر السعة وحدها، ثمّ اجعل الكتلة أربعة أضعافها، وقارن الدور في كلّ مرّة.