ورقة تمارين: الحركة التوافقيّة البسيطة والنوّاس المرن

1. بأيّ واحدةٍ يُقدَّر النبض الخاصّ ${\omega }_0$؟

• أ)$\mathrm{s}$
• ب)$\mathrm{m}$
• ج)$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$

2. في تمثيل فرينل، ماذا يقابل النبض الخاصّ ${\omega }_0$؟

• أ)السرعة الزاويّة الثابتة التي تدور بها النقطة $M$.
• ب)طويلة الشعاع $\overrightarrow{OM}$.
• ج)الزاوية بين الشعاع $\overrightarrow{OM}$ والمحور في اللحظة $t=0$.

3. يهتزّ جسمٌ بنبضٍ خاصّ ${\omega }_0=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$ بين الموضعين $-X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ و$+X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$، والمسافة بين مركز الاهتزاز والموضع $+X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ تساوي $8\mathrm{c}\mathrm{m}$. في اللحظة $t=0$ يكون ساكناً في الموضع $-X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$. أيّ تابعٍ يصف مطاله مقدّراً بالمتر؟

• أ)$\bar{x}=8\cos (\pi t-\pi )$
• ب)$\bar{x}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\cos (\pi t+\pi )$
• ج)$\bar{x}=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->8}\cos (\pi t)$

4. كرةٌ معلّقةٌ بنابضٍ شاقوليّ، ساكنةٌ في موضع توازنها. ما محصّلة القوى الخارجيّة المؤثّرة في مركز عطالتها؟

• أ)ثقلها $\vec{w}$، نحو الأسفل.
• ب)معدومة: $\vec{w}+\overrightarrow{F_{s_0}}=\vec{0}$.
• ج)قوّة توتّر النابض $\overrightarrow{F_{s_0}}$، نحو الأعلى.

5. استطالة نابضٍ في التوازن $5\mathrm{c}\mathrm{m}$. نشدّ الكرة $3\mathrm{c}\mathrm{m}$ تحت موضع توازنها، ونتركها دون سرعةٍ ابتدائيّة. ما سعة الاهتزاز؟

• أ)$5\mathrm{c}\mathrm{m}$
• ب)$8\mathrm{c}\mathrm{m}$
• ج)$3\mathrm{c}\mathrm{m}$

6. المحور الشاقوليّ موجّهٌ نحو الأسفل، والجسم تحت مركز الاهتزاز، فمطاله $\bar{x}>0$. إلى أين تشير قوّة الإرجاع؟

• أ)نحو الأعلى، أي نحو مركز الاهتزاز، لأنّ $\bar{F}=-k\bar{x}<0$.
• ب)نحو الأسفل، في اتّجاه المطال.
• ج)لا تشير إلى جهة، فهي معدومة ما دام الجسم يتحرّك.

7. لماذا لا يظهر الثقل $mg$ في علاقة قوّة الإرجاع $\bar{F}=-k\bar{x}$ للنوّاس المرن الشاقوليّ؟

• أ)لأنّه يُختصر في الحساب مع $k{x}_0$، إذ $w=k{x}_0$.
• ب)لأنّ الثقل لا يؤثّر في الجسم وهو يتحرّك.
• ج)لأنّ الثقل صغيرٌ مهملٌ أمام قوّة توتّر النابض.

8. نشتقّ $\bar{x}=X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$ مرّتين بالنسبة للزمن. ما $(\bar{x}{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$؟

• أ)$(\bar{x}{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\omega }_0^2{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$
• ب)$(\bar{x}{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\sin ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$
• ج)$(\bar{x}{)}_t^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-{\omega }_0^2{X}_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}\cos ({\omega }_{0}t+\bar{\phi })$

9. في البرهان نكتب ${\omega }_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}>0$. لماذا نأخذ الجذر الموجب؟

• أ)لأنّ الجسم يتحرّك في الاتّجاه الموجب للمحور.
• ب)لأنّ $k$ و$m$ مقداران موجبان، والنبض الخاصّ مقدارٌ موجب.
• ج)لأنّ الإشارة السالبة في المعادلة التفاضليّة تُلغي الجذر السالب.

10. نوّاسٌ مرنٌ نبضه الخاصّ ${\omega }_0$. نستبدل بالجسم جسماً كتلته $m^{\mathrm{\prime }}=2m$، وبالنابض نابضاً ثابت صلابته $k^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{k}{2}}$. ما النبض الخاصّ الجديد؟

• أ)${\omega }_0^{\mathrm{\prime }}={\omega }_0$
• ب)${\omega }_0^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{{\omega }_0}{4}}$
• ج)${\omega }_0^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{{\omega }_0}{2}}$

11. هزّازتان تنطلقان في اللحظة نفسها من الموضع $+X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ دون سرعة: في الأولى $k_1=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$ و$m_1=1\mathrm{k}\mathrm{g}$، وفي الثانية $k_2=\mathrm{2<!--\; -->0}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$ و$m_2=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->5}\mathrm{k}\mathrm{g}$. أين تكونان بعد $3\mathrm{s}$؟ نأخذ ${\pi }^2=\mathrm{1<!--\; -->0}$.

• أ)تلتقيان في مركز الاهتزاز.
• ب)الأولى في $-X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$ والثانية في $+X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$.
• ج)تلتقيان في الموضع $+X_{\text{m<!-- -->a<!-- -->x}}$.

12. نجعل كتلة الجسم أربعة أضعافها، ونضاعف سعة الاهتزاز أيضاً. كيف يتغيّر الدور الخاصّ؟

• أ)يتضاعف.
• ب)يصير أربعة أضعافه: يتضاعف بسبب الكتلة، ثمّ يتضاعف مرّةً أخرى بسبب السعة.
• ج)لا يتغيّر، لأنّ أثر الكتلة وأثر السعة يتعادلان.