الوتر المهتزّ: التجاوب وسرعة الانتشار

الاهتزازات الحرّة في وترٍ مرن

في تجربة الكتاب، الصفحة 166، نشدّ وتراً مرناً بين مسمارين البعد بينهما $L$، ثمّ نزيحه من منتصفه ونتركه. الوتر يهتزّ بمغزلٍ واحد. وإذا نقرناه من ربعه ولمسنا منتصفه برأس قلم اهتزّ بمغزلين، ومن سدسه مع لمس ثلثه بثلاثة مغازل.

تذكّر: «عندَما نُزيحُ الوترَ المرنَ المشدودَ من مُنتصَفه ونتركُه، فإنّه يهتزُّ اهتزازاتٍ حرَّةً بتواتُره الخاص $f_1$ مولِّداً موجةً مُستقِرّةً نتيجةَ انعكاسِها بالنّقطتَين الثّابتتَين ويتشكَّلُ مِغزلٌ واحدٌ، ونُسمّي الصَّوتَ النّاتجَ بالصّوتِ الأساسيّ $f_1$.» وتُسمّى الأصوات التي يتشكّل فيها مغزلان أو أكثر «بالمدروجات». الكتاب، الصفحة 166:

الاهتزازات القسريّة والتجاوب

في تجربة الكتاب، الصفحتان 167 و168، نثبّت طرف الوتر بهزّازةٍ تواترها $f$ قابلٌ للتغيير، ونمرّره على بكرة تشكّل عقدةً ثابتة، ونجعل تواتر صوته الأساسيّ $f_1=\mathrm{1<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$. تتولّد أمواجٌ في الوتر مهما كان تواتر الهزّازة. فإذا لم يكن $f$ مضاعفاً صحيحاً لـ $f_1$ اهتزّ الوتر بسعةٍ صغيرة من رتبة سعة الهزّازة. أمّا عند $f=\mathrm{1<!--\; -->0},\mathrm{2<!--\; -->0},\mathrm{3<!--\; -->0},\mathrm{4<!--\; -->0}\mathrm{H}\mathrm{z}$ فيكون الوتر بحالة تجاوب، وتتكوّن مغازل سعتها أكبر بكثير من سعة الهزّازة.

الوتر على نهايةٍ طليقة

في تجربة الكتاب، الصفحة 169، نثبّت طرف الوتر بشعبة الهزّازة $a$ ونتركه يتدلّى شاقوليّاً، فطرفه السفليّ $b$ نهايةٌ طليقة. عند التجاوب تتكوّن في $a$ عقدة اهتزاز، وفي $b$ بطن اهتزاز.

انتبه: 🚨 النهاية الطليقة بطن، لا عقدة. لذلك لا يكون الطول عدداً صحيحاً من ${\displaystyle \frac{\lambda }{2}}$، بل عدداً فرديّاً من ${\displaystyle \frac{\lambda }{4}}$، ولا تظهر إلّا المدروجات الفرديّة $(2n-1)$.

سرعة الانتشار في وترٍ مشدود

في تجربة الكتاب، الصفحة 170، نغيّر الأثقال المعلّقة بطرف الوتر وطوله وتواتر الهزّازة. «يزدادُ عددُ المغازلِ عندَما يزدادُ طولُ الوترِ أو عندَما يزدادُ تواتُرُ الاهتزاز، وينقصُ بزيادةِ قوّةِ الشّدّ.» الكتاب، الصفحة 170.

وتدلّ النتائج على أنّ سرعة انتشار الاهتزاز العرضيّ في الوتر المهتزّ تتناسب طرداً مع الجذر التربيعيّ لقوّة الشدّ $F_T$، وعكساً مع الجذر التربيعيّ لكتلة وحدة الطول من الوتر المتجانس، وتُسمّى الكتلة الخطيّة $\mu$. والثابت في الجملة الدوليّة يساوي الواحد، الكتاب، الصفحة 171:

$F_T$ بالنيوتن، و$\mu$ بـ $\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{-1}$، والكتلة $m$ بالكيلوغرام والطول $L$ بالمتر. وإذا كان الوتر أسطوانيّاً نصف قطره $r$ وكتلته الحجميّة $\rho$ فإنّ $\mu =\rho \pi r^2$.

انتبه: 🚨 $\mu$ هنا الكتلة الخطيّة، كتلة المتر من الوتر، لا الكتلة كلّها. ولا علاقة لها بعامل النفاذيّة في الوحدة الثانية ولا بنسبة التحويل في المحوّلة: الرمز واحد والمقادير ثلاثة.

انتبه: 🚨 السرعة مع الجذر التربيعيّ لقوّة الشدّ: إذا صارت القوّة أربعة أمثالها صارت السرعة مثليها فقط.

من الكتاب: مسائل