الفيزياء، البكالوريا، الفرع العلمي

المزامير وسرعة الصوت في الغازات

المزمار ومنبعاه، وقانونا المزمار متشابه الطرفين ومختلف الطرفين، وكيف تتغيّر سرعة الصوت مع درجة الحرارة ونوع الغاز

الأمواجُ المُستقِرَّة . الوحدة 3 . الدرس 2 (2 من 2)

بسيطة

المزمار أنبوبٌ من الهواء يرنّ مع منبعه. وإذا ملأناه بغازٍ آخر أو سخّناه تغيّرت سرعة الصوت فيه، فتغيّر صوته. هذه الفكرة بالذات، تبديل الغاز أو درجة الحرارة، جاءت في مسائل المزمار في أوراق 2019 و2023 و2026. نتابع مع الكتاب في الصفحات 181 إلى 183.

المزمار ومنابعه الصوتيّة

تذكّر: «المزمارُ: أنبوبٌ أسطوانيٌّ أو موشوريٌّ، مقطعُه ثابتٌ وصغيرٌ بالنّسبةِ إلى طولِه، جدرانُه خشبيّةٌ أو معدنيّةٌ ثخينةٌ لكي لا تشاركَ في الاهتزاز، يحتوي غازاً (الهواء غالباً) يهتزُّ بالتّجاوبِ مع المنبعِ الصّوتي للمِزمار.» الكتاب، الصفحة 181.

وتُصنّف المنابع الصوتيّة إلى نوعين، الكتاب، الصفحة 181: «المنبعُ ذو الفم» نهايةُ غرفةٍ صغيرةٍ مفتوحة يُدفع فيها الهواء ويخرج من شقٍّ ضيّق، فيتشكّل عند الفم بطن اهتزاز، أي عقدة ضغط. و«المنبعُ ذو لسان» صفيحةٌ مرنة تقطع جريان الهواء بتواتر المنبع، فيتشكّل عند اللسان عقدة اهتزاز، أي بطن ضغط.

ويقسم الكتاب المزامير من الناحية الاهتزازيّة إلى نوعين: «مُتشابهةُ الطّرفين» إذا كان طرفاها من نوعٍ واحد، بطنين أو عقدتين، و«مُختلِفةُ الطّرفين» إذا كان عند أحدهما بطنٌ وعند الآخر عقدة. الكتاب، الصفحة 181.

مزمارٌ ذو فم نهايته مفتوحة. عند نهايته المفتوحة يتشكّل، الكتاب، الصفحة 186:

كيف أبدأ؟ الطرف المفتوح يسمح للهواء بالحركة الطوليّة الحرّة.

أ)عقدة اهتزاز
ب)بطن اهتزاز
ج)بطن ضغط

ب. نعم: وهو عقدةٌ للضغط.

قانونا المزمار

المزمار متشابه الطرفين، ذو فمٍ ونهايةٍ مفتوحة، بطنٌ عند كلّ طرف. طوله عددٌ صحيح من نصف طول الموجة، ومع $λ = \frac{v}{f}$ ، الكتاب، الصفحة 182:

\begin{array}{c} L = n \frac{λ}{2} \\ f = n \frac{v}{2 L} \end{array}

1. الصوت الأساسيّ: $f_{1} = \frac{v}{2 L}$ .

2. المدروج الثاني: $f_{2} = 2 f_{1}$ .

3. المدروج الثالث: $f_{3} = 3 f_{1}$ .

المزمار متشابه الطرفين، الكتاب، الصفحة 182. الرسم من عندنا.

والمزمار مختلف الطرفين، ذو فمٍ ونهايةٍ مغلقة، بطنٌ عند الفم وعقدةٌ عند النهاية المغلقة. طوله عددٌ فرديّ من ربع طول الموجة، الكتاب، الصفحة 182:

\begin{array}{c} L = (2 n - 1) \frac{λ}{4} \\ f = (2 n - 1) \frac{v}{4 L} \end{array}

1. الصوت الأساسيّ: $f_{1} = \frac{v}{4 L}$ .

2. المدروج الثالث: $f_{3} = 3 f_{1}$ .

3. المدروج الخامس: $f_{5} = 5 f_{1}$ .

المزمار مختلف الطرفين، الكتاب، الصفحة 182. الرسم من عندنا.

انتبه: 🚨 متشابه الطرفين: كلّ المضاعفات $n f_{1}$ . مختلف الطرفين: المضاعفات الفرديّة فقط $(2 n - 1) f_{1}$ . ولكي يُصدر المزمار مدروجاته نزيد نفخ الهواء فيه تدريجيّاً، الكتاب، الصفحة 182.

مزمارٌ متشابه الطرفين طوله $L$ ، وسرعة الصوت في هوائه $v$ . تواتر صوته الأساسيّ، الكتاب، الصفحة 186:

كيف أبدأ؟ بطنان عند الطرفين: $L = \frac{λ}{2}$ .

أ) $f = \frac{v}{4 L}$
ب) $f = \frac{2 v}{L}$
ج) $f = \frac{v}{2 L}$

ج. نعم: كما في الكتاب، الصفحة 182.

أنبوبٌ صوتيّ مختلف الطرفين صوته الأساسيّ $435 H z$ . تواتر الصوت التالي الذي يمكن أن يصدره، الكتاب، الصفحة 186:

كيف أبدأ؟ المختلف الطرفين: المضاعفات الفرديّة فقط.

أ) $1305 H z$
ب) $870 H z$
ج) $217.5 H z$

أ. نعم: $3 \times 435$ .

مزمارٌ متشابه الطرفين طوله $L$ يصدر صوتاً أساسيّاً موافقاً للصوت الأساسيّ لمزمارٍ مختلف الطرفين طوله $L^{'}$ ، في الشروط نفسها. فإنّ، الكتاب، الصفحة 186:

كيف أبدأ؟ $\frac{v}{2 L} = \frac{v}{4 L^{'}}$ .

أ) $L = 2 L^{'}$
ب) $L = L^{'}$
ج) $L^{'} = 2 L$

أ. نعم: $\frac{v}{2 L} = \frac{v}{4 L^{'}}$ فـ $L = 2 L^{'}$ .

سرعة الصوت في الغازات

«تواتُرُ الصّوتِ الأساسيّ الذي يُصدِرُه مِزمارٌ يتناسبُ طرداً مع سرعةِ انتشارِ الصّوتِ في غازِ المِزمار. ويُمكِنُ تغييرُ هذه السّرعة بزيادةِ درجةِ حرارةِ الغازِ أو تغييرِ طبيعتِه.» الكتاب، الصفحة 183.

تتناسب سرعة انتشار الصوت في غازٍ معيّن طرداً مع الجذر التربيعيّ لدرجة حرارته المطلقة $T$ بالكلفن، الكتاب، الصفحة 183:

\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{T_{1}}{T_{2}}} T = 273 + t

وتتناسب سرعتا انتشار الصوت في غازين مختلفين عكساً مع الجذر التربيعيّ لكثافتيهما بالنسبة للهواء، «إذا كانَ الغازانِ في درجةِ حرارةٍ واحدة، ولهما رتبةٌ ذرّيّةٌ واحدة (أي عددُ الذّرّاتِ الّتي تُؤلّفُ جُزيئتَه هي نفسُها)» الكتاب، الصفحة 183. و $M$ الكتلة الموليّة للغاز، والكثافة بالنسبة للهواء $D = \frac{M}{29}$ :

\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{D_{2}}{D_{1}}} = \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}}

انتبه: 🚨 درجة الحرارة بالكلفن لا بالدرجات المئويّة. وفي تبديل الغاز الكتلة الموليّة للغاز الآخر في البسط: الصوت أسرع في الغاز الأخفّ.

المسألة الأولى، الكتاب، الصفحة 187: سرعة انتشار الصوت في الهواء $331 m . s^{- 1}$ بدرجة $0^{\circ} C$ . احسب سرعته في الدرجة $27^{\circ} C$ .

v_{2} = ?

1. بالكلفن $T = 273 + t$ :
$T_{1} = 273 K T_{2} = 300 K$
2. النسبة $v_{2} = v_{1} \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}$ :
$v_{2} = 331 \sqrt{\frac{300}{273}} \approx 347 m . s^{- 1}$

لو عوّضنا بالدرجات المئويّة لظهرت $\sqrt{\frac{27}{0}}$ ، وهي لا معنى لها:

T = 273 + t

مثالٌ على نمط مسألة دورة 2026 في دمشق: مزمارٌ مختلف الطرفين يحوي غاز الأكسجين $(M = 32)$ ، سرعة الصوت فيه $324 m . s^{- 1}$ ، وتواتر صوته الأساسيّ $162 H z$ . نملؤه بغاز الهيدروجين $(M = 2)$ في درجة الحرارة نفسها.

L, v^{'}, f^{'} = ?

1. الطول $f_{1} = \frac{v}{4 L}$ :
$L = \frac{v}{4 f_{1}} = \frac{324}{4 \times 162} = 0.5 m$
2. السرعة في الهيدروجين الغازان ثنائيّا الذرّة، و $\frac{v^{'}}{v} = \sqrt{\frac{M_{O_{2}}}{M_{H_{2}}}}$ :
$v^{'} = 324 \sqrt{\frac{32}{2}} = 324 \times 4 = 1296 m . s^{- 1}$
3. التواتر الجديد الطول نفسه، والتواتر مع السرعة:
$f^{'} = \frac{1296}{4 \times 0.5} = 648 H z$

الهيدروجين أخفّ بستّ عشرة مرّة، فالصوت فيه أسرع بأربع مرّات، والتواتر أعلى بأربع مرّات:

\frac{f^{'}}{f} = \frac{v^{'}}{v} = 4

$v_{1}$ سرعة الصوت في الهيدروجين $(M = 2)$ و $v_{2}$ في الأكسجين $(M = 32)$ ، في الدرجة نفسها. فإنّ، الكتاب، الصفحة 186:

كيف أبدأ؟ $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}}$ .

أ) $v_{1} = 16 v_{2}$
ب) $v_{2} = 4 v_{1}$
ج) $v_{1} = 4 v_{2}$

ج. نعم: $\sqrt{\frac{32}{2}} = 4$ .

سرعة الصوت في غازٍ $331 m . s^{- 1}$ بدرجة $0^{\circ} C$ . نسخّنه إلى $273^{\circ} C$ . سرعته الجديدة:

كيف أبدأ؟ حوّل إلى الكلفن: $273 K$ و $546 K$ .

أ) $v = 662 m . s^{- 1}$
ب) $v \approx 468 m . s^{- 1}$
ج) $v = 331 m . s^{- 1}$

ب. نعم: تضاعفت درجة الحرارة المطلقة، فالسرعة $331 \sqrt{2}$ .

من الكتاب: مسائل

المسألة الخامسة، الكتاب، الصفحة 187: استُعملت رنّانةٌ تواترها $445 H z$ فوق عمود رنينٍ مغلق لتحديد سرعة انتشار الصوت في غاز الهيليوم. البعد بين صوتين شديدين متتاليين $110 c m$ .

v = ?

1. طول الموجة بين رنينين متتاليين $\frac{λ}{2}$ :
$λ = 2 \times 1.10 = 2.2 m$
2. السرعة $v = λ f$ :
$v = 2.2 \times 445 = 979 m . s^{- 1}$

الصوت في الهيليوم أسرع منه في الهواء بنحو ثلاث مرّات. وبين رنينين متتاليين دائماً نصف طول موجة:

Δ L = \frac{λ}{2}

المسألة الثانية، الكتاب، الصفحة 187: يصدر أنبوبٌ صوتيّ مختلف الطرفين صوتاً أساسيّاً تواتره $435 H z$ . ما تواترات الأصوات الثلاثة التي تليه؟

f_{3}, f_{5}, f_{7} = ?

1. المدروجات الفرديّة $f = (2 n - 1) f_{1}$ :
$\begin{array}{c} 3 \times 435 = 1305 H z \\ 5 \times 435 = 2175 H z \\ 7 \times 435 = 3045 H z \end{array}$

لا $870 H z$ ولا $1740 H z$ : المدروجات الزوجيّة غائبة.

f = (2 n - 1) f_{1}

المسألة الحادية عشرة، الكتاب، الصفحة 188: مزمارٌ متشابه الطرفين طوله $1 m$ يصدر صوتاً تواتره $170 H z$ ، وسرعة الصوت $340 m . s^{- 1}$ . احسب عدد أطوال الموجة في المزمار، ثمّ طول مزمارٍ مختلف الطرفين يصدر صوتاً أساسيّاً موافقاً في درجة الحرارة نفسها.

\frac{L}{λ}, L^{'} = ?

1. طول الموجة $λ = \frac{v}{f}$ :
$λ = \frac{340}{170} = 2 m \frac{L}{λ} = 0.5$
2. المزمار الآخر الصوت الأساسيّ للمختلف الطرفين $L^{'} = \frac{λ}{4}$ :
$L^{'} = \frac{2}{4} = 0.5 m$

في المزمار نصف طول موجة، فهو يصدر صوته الأساسيّ. والمختلف الطرفين يكفيه نصف الطول:

L^{'} = \frac{L}{2}

تفكيرٌ ناقد، الكتاب، الصفحة 188: وترُ كمانٍ كتلته $m$ وطوله $L$ يهتزّ بالتواتر الأساسيّ نفسه لعمودٍ هوائيٍّ مغلق طوله $L$ ، وسرعة الصوت في الهواء $v$ . استنتج قوّة الشدّ.

F_{T} = ?

1. التساوي الوتر بين نهايتين مقيّدتين، والعمود مغلق:
$\frac{1}{2 L} \sqrt{\frac{F_{T} L}{m}} = \frac{v}{4 L}$
2. الحلّ نضرب في $2 L$ ثمّ نربّع:
$\frac{F_{T} L}{m} = \frac{v^{2}}{4} F_{T} = \frac{m v^{2}}{4 L}$

مسألةٌ تجمع درسي الوحدة: قانون الأوتار وقانون الأعمدة الهوائيّة:

F_{T} = \frac{m v^{2}}{4 L}