الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: المقارب المائل

التوابع: النهايات والاستمرار . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. متى نقول إنّ المستقيم $Δ : y = a x + b$ حيث $a \neq 0$ مقاربٌ مائل للخطّ البياني $C_{f}$ في جوار $+ \infty$ ؟
- أ) $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$
- ب) $\lim_{x \to + \infty} (f (x) - (a x + b)) = 0$
- ج) $\lim_{x \to + \infty} (f (x) + (a x + b)) = 0$
2. المستقيم $Δ$ معادلته $y = x + 1$ . ما الفرق $f (x) - (x + 1)$ لهذا التابع؟
$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x + 2}$
- أ) $\frac{1}{x + 2}$
- ب) $\frac{- 1}{x + 2}$
- ج) $\frac{- 1}{x^{2} + 3 x + 1}$
3. بعد أن وجدنا $f (x) - (x + 1) = \frac{- 1}{x + 2}$ ، أين يقع $C_{f}$ بالنسبة إلى $Δ : y = x + 1$ على المجال $] - 2, + \infty [$ ؟
- أ)فوق $Δ$
- ب)يقطع $Δ$ عند $x = - 1$
- ج)تحت $Δ$
4. وعلى المجال $] - \infty, - 2 [$ ، أين يقع $C_{f}$ بالنسبة إلى $Δ$ في المثال نفسه؟
- أ)فوق $Δ$
- ب)تحت $Δ$
- ج)لا يمكن الحكم، لأنّ المقارب يوصف عند $+ \infty$ وحده
5. هل المستقيم $Δ : y = 2 x + 3$ مقاربٌ مائل للخطّ البياني لهذا التابع في جوار $+ \infty$ ؟
$f (x) = 2 x + 3 + \frac{10}{x + 1}$
- أ)لا، لأنّ نهاية التابع عند $+ \infty$ هي $+ \infty$
- ب)لا، لأنّ الفرق $\frac{10}{x + 1}$ لا ينعدم أبداً
- ج)نعم، لأنّ $\lim_{x \to + \infty} \frac{10}{x + 1} = 0$
6. في التابع نفسه $f (x) = 2 x + 3 + \frac{10}{x + 1}$ ، أين يقع $C_{f}$ بالنسبة إلى $Δ : y = 2 x + 3$ على المجال $] - 1, + \infty [$ ؟
- أ)فوق $Δ$
- ب)تحت $Δ$
- ج)فوقه أحياناً وتحته أحياناً
7. أيّ العبارات صحيحة عن التابع $f (x) = x + \frac{\sin x}{x}$ والمستقيم $Δ : y = x$ في جوار $+ \infty$ ؟
- أ) $Δ$ مقاربٌ مائل، ومع ذلك يقطعه $C_{f}$ عند كلّ مضاعفٍ غير معدوم لـ $π$
- ب)ليس مقارباً، لأنّ $\sin x$ ليست له نهاية عند $+ \infty$
- ج) $Δ$ مقاربٌ مائل، ولذلك لا يقطعه $C_{f}$ أبداً
8. المستقيم $Δ$ معادلته $y = 2 x + 1$ . ما الفرق $f (x) - (2 x + 1)$ لهذا التابع؟
$f (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x - 3}{x - 4}$
- أ) $\frac{- 1}{x - 4}$
- ب) $\frac{1}{x - 4}$
- ج) $\frac{- 7 x - 3}{x - 4}$
9. أثبتنا أنّ $Δ : y = x - 2$ مقاربٌ مائل، ووجدنا $f (x) - (x - 2) = \frac{- 3}{(x + 1)^{2}}$ . ما الوضع النسبي؟
$f (x) = \frac{x^{3} - 3 x - 5}{(x + 1)^{2}}$
- أ) $C_{f}$ تحت $Δ$ على مجموعة التعريف كلّها
- ب)فوق $Δ$ بعد $- 1$ وتحته قبلها
- ج)يقطع $Δ$ عند $x = - 1$
10. أيّ العبارات صحيحة عن التابع $f (x) = - x + 1 - \frac{1}{x^{2}}$ والمستقيم $Δ : y = - x + 1$ ؟
- أ) $Δ$ مقاربٌ مائل عند $+ \infty$ وعند $- \infty$ ، و $C_{f}$ تحته دائماً
- ب) $Δ$ مقاربٌ مائل عند $+ \infty$ وحده
- ج) $Δ$ مقاربٌ أفقي معادلته $y = 1$
11. أيّ من هذه التوابع الكسريّة يقبل خطّه البياني مقارباً مائلاً في جوار $+ \infty$ ؟
- أ) $\frac{3 x + 1}{x + 2}$
- ب) $\frac{2 x^{2} + 1}{x + 3}$
- ج) $\frac{x^{3} + 1}{x + 1}$
12. خطٌّ بياني له في جوار $+ \infty$ مقاربٌ مائل ميله $3$ ويقطع محور التراتيب عند $- 2$ . ما معادلته؟
- أ) $x = 3 y - 2$
- ب) $y = - 2 x + 3$
- ج) $y = 3 x - 2$
13. أُعطي المستقيم $Δ : y = a x + b$ وطُلب إثبات أنّه مقاربٌ مائل. ما الذي يُنهي البرهان؟
- أ)أن نُجري القسمة ونكتب $f (x) = a x + b + g (x)$ ونكتفي بذلك
- ب)أن نقارن درجة البسط بدرجة المقام ونكتفي بذلك
- ج)أن نُشكّل الفرق $f (x) - (a x + b)$ ونُثبت أنّ نهايته $0$
14. في التعريف $\lim_{x \to + \infty} (f (x) - (a x + b)) = 0$ ، ماذا يكون المستقيم إذا كان $a = 0$ ؟
- أ)مقارباً شاقوليّاً معادلته $x = b$
- ب)مقارباً أفقيّاً معادلته $y = b$
- ج)لا يوجد مقارب، لأنّ المستقيم يصير ثابتاً
15. التابع $f (x) = \frac{x^{2} + \frac{5}{2} x + \sqrt{x} + 1}{2 x + 1}$ معرّف على $[0, + \infty [$ ، والمستقيم $Δ : y = \frac{1}{2} x + 1$ . أيّ العبارات صحيحة؟
- أ) $Δ$ مقاربٌ مائل عند $+ \infty$ ، و $C_{f}$ فوقه
- ب) $Δ$ مقاربٌ مائل عند $+ \infty$ وعند $- \infty$ معاً
- ج) $Δ$ ليس مقارباً، لأنّ الفرق يحوي جذراً
16. ما مقاربات الخطّ البياني للتابع $f (x) = x + \sqrt{x^{2}}$ عند طرفي مجموعة التعريف؟
- أ) $y = 2 x$ عند $+ \infty$ وعند $- \infty$ معاً
- ب)لا يوجد مقاربٌ مائل، لأنّ الجذر يمنع ذلك
- ج) $y = 2 x$ عند $+ \infty$ و $y = 0$ عند $- \infty$

سلّم التصحيح

1. ب صحيح. هذا شرط تعريف 5: الفرق بين التابع ومعادلة المستقيم يؤول إلى الصفر، وهو شرطٌ لازم وكافٍ. ومع $a \neq 0$ يكون المقارب مائلاً.
2. ب صحيح. بضرب $(x + 1)$ بـ $(x + 2)$ نحصل على $x^{2} + 3 x + 2$ ، فتتلاشى حدود $x^{2}$ و $x$ ويبقى $- 1$ في البسط.
3. ج صحيح، وهذا نصّ الكتاب: على المجال $] - 2, + \infty [$ يكون $f (x) - (x + 1) < 0$ ، فجزء الخطّ البياني الموافق لقيم $x > - 2$ يقع تحت $Δ$ .
4. أ صحيح. هنا $x + 2$ سالب والبسط $- 1$ سالب، فالكسر موجب، والفرق الموجب يعني أنّ $C_{f}$ فوق $Δ$ .
5. ج صحيح. الفرق $f (x) - (2 x + 3)$ هو $\frac{10}{x + 1}$ ، ونهايته $0$ ، فالشرط اللازم والكافي متحقّق.
6. أ صحيح. البسط $10$ موجب و $x + 1 > 0$ على هذا المجال، فالفرق موجب و $C_{f}$ فوق $Δ$ .
7. أ صحيح. الفرق $\frac{\sin x}{x}$ نهايته $0$ ، فـ $Δ$ مقاربٌ مائل، وهو ينعدم عند كلّ $x = k π$ حيث $k$ عدد صحيح غير معدوم، فالالتقاء يتكرّر بلا انتهاء.
8. ب صحيح. $(2 x + 1) (x - 4) = 2 x^{2} - 7 x - 4$ ، فيبقى في البسط $- 3 + 4 = 1$ ، والمقام $x - 4$ كما هو.
9. أ صحيح. المقام $(x + 1)^{2}$ موجب تماماً لكلّ $x \neq - 1$ ، والبسط $- 3$ سالب، فالفرق سالب دائماً ولا يتغيّر وضعه.
10. أ صحيح. الفرق $\frac{- 1}{x^{2}}$ نهايته $0$ عند الطرفين، وهو سالب تماماً لكلّ $x \neq 0$ ، فالوضع واحد على المجالين.
11. ب صحيح. درجة البسط تزيد على درجة المقام بواحدٍ تماماً، وبالكتابة $2 x - 6 + \frac{19}{x + 3}$ يظهر المستقيم $y = 2 x - 6$ ، والبرهان حساب نهاية الفرق.
12. ج صحيح. الميل $3$ هو معامل $x$ ، والمقطع المبدئي $- 2$ هو الحدّ الثابت، فالمعادلة $y = 3 x - 2$ .
13. ج صحيح. هذه هي الخطوات التي يطلبها سلّم التصحيح: تشكيل الفرق، ثمّ حساب نهايته، ثمّ الاستنتاج، ثمّ دراسة الوضع النسبي.
14. ب صحيح. مع $a = 0$ يصير الشرط $\lim_{x \to + \infty} (f (x) - b) = 0$ ، أي $\lim f (x) = b$ ، وهو تعريف المقارب الأفقي من الدرس الأوّل.
15. أ صحيح. حاصل $(\frac{1}{2} x + 1) (2 x + 1)$ هو $x^{2} + \frac{5}{2} x + 1$ ، فالفرق $\frac{\sqrt{x}}{2 x + 1}$ ، ونهايته $0$ وإشارته موجبة.
16. ج صحيح. لأنّ $\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣$ ، يكون $f (x) = 2 x$ عندما $0 \leq x$ و $f (x) = 0$ عندما $x < 0$ . مقاربان مختلفان عند الطرفين، وهذا ما يوجب حساب كلّ طرف على حدة.