ورقة تمارين: مبرهنات المقارنة

1. على المجال $]1,+\mathrm{\infty }[$ لدينا $g(x)\le f(x)\le h(x)$، مع ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}g(x)=1$ و ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}h(x)=3$. ماذا نستنتج؟

• أ)${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=2$
• ب)${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=3$
• ج)لا نستنتج شيئاً عن نهاية $f$

2. ما نهاية هذا التابع عند $+\mathrm{\infty }$؟

• أ)$1$
• ب)لا وجود لها، لأنّ $\sin x$ متأرجح
• ج)$0$

3. ما نهاية هذا التابع عند $+\mathrm{\infty }$؟

• أ)$+\mathrm{\infty }$
• ب)لا وجود لها، لأنّ $\cos x$ لا نهاية له
• ج)$1$

4. عند كلّ $x\ge 0$ لدينا $\mid f(x)-3\mid \le \frac{1}{x+1}$. ما نهاية $f$ عند $+\mathrm{\infty }$؟

• أ)$0$
• ب)$3$
• ج)$4$

5. عند كلّ $x<0$ لدينا $f(x)\ge \frac{1}{4}{x}^2$. ما نهاية $f$ عند $-\mathrm{\infty }$؟

• أ)$0$
• ب)$+\mathrm{\infty }$
• ج)$-\mathrm{\infty }$

6. على مجال $]b,+\mathrm{\infty }[$ لدينا $f(x)\le g(x)$ و ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}g(x)=+\mathrm{\infty }$. ماذا نستنتج عن $f$؟

• أ)لا نستنتج شيئاً
• ب)${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty }$
• ج)نهاية $f$ منتهية

7. حيث $E$ تابع الجزء الصحيح، ما نهاية هذا التابع عند $+\mathrm{\infty }$؟

• أ)$0$
• ب)$1$
• ج)$+\mathrm{\infty }$

8. ما نهاية هذا التابع عند الصفر؟

• أ)$1$
• ب)لا وجود لها، لأنّ $\sin \frac{1}{x}$ يتأرجح بلا توقّف
• ج)$0$

9. ما الأداة الصحيحة لحساب نهاية $x\sin \frac{1}{x}$ عند الصفر؟

• أ)قاعدة نهاية الجداء
• ب)الحصر $\mid f(x)-0\mid \le \mid x\mid$ ثمّ المبرهنة $2$
• ج)التعويض المباشر بـ $x=0$

10. انطلاقاً من $-1\le \sin x\le 1$، أيّ متراجحة صحيحة أيّاً كان $x$ الحقيقي؟

• أ)$x^2-5\sin x\ge x^2+5$
• ب)$x^2-5\sin x\ge x^2-5$
• ج)$x^2-5\sin x\le x^2-5$

11. عند كلّ $x>1$ لدينا $\frac{3x+\cos x}{x}\le f(x)\le \frac{3x+7}{x-1}$. ما نهاية $f$ عند $+\mathrm{\infty }$؟

• أ)$3$
• ب)$7$
• ج)$+\mathrm{\infty }$

12. أيّاً كان $x>0$ لدينا $\frac{1}{x}>0$. ماذا نستنتج عن ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}$؟

• أ)أنّها موجبة تماماً
• ب)أنّها غير موجودة، لأنّ القيم لا تبلغ $0$
• ج)أنّها $\ge 0$، وهي هنا تساوي $0$

13. أردنا تطبيق مبرهنة الإحاطة على نهاية عند عدد حقيقي $a$ من الجهتين. أين يجب أن تتحقّق المتراجحة؟

• أ)على مجال من النمط $]b,+\mathrm{\infty }[$ حصراً
• ب)عند النقطة $a$ نفسها
• ج)على مجموعة من النمط $]A,B[\setminus \{a\}$

14. المتراجحة $\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid \le g(x)$ تكافئ أيّاً ممّا يلي؟

• أ)$\mathrm{\ell }-g(x)\le f(x)\le \mathrm{\ell }+g(x)$
• ب)$f(x)\le \mathrm{\ell }+g(x)$
• ج)$f(x)-\mathrm{\ell }\le g(x)\wedge g(x)\le 0$

15. من الحصر $\frac{x}{2}-2\le f(x)\le \frac{x}{2}+2$، ما الحصر الصحيح لـ $f(\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0})$؟

• أ)$\mathrm{4<!--\; -->9<!--\; -->8}\le f(\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0})\le \mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->2}$
• ب)$\mathrm{4<!--\; -->9<!--\; -->8}\le f(\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0})\le \mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->2}$
• ج)$f(\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0})=\mathrm{5<!--\; -->0<!--\; -->0}$

16. انطلاقاً من $-1\le \cos x\le 1$، ما الحصر الصحيح لهذا التابع؟

• أ)$\frac{1}{3}\le f(x)\le 1$
• ب)$\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{1}{4}$
• ج)$\frac{1}{4}\le f(x)\le \frac{1}{2}$