الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: التّوافيق

التّحليل التّوافقي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. كم توفيقاً تمثّله الكتابتان ${0, 1}$ و ${1, 0}$ معاً؟
- أ)اثنان، لأنّ الترتيب مختلف
- ب)لا شيء منهما توفيق
- ج)واحد، فهما المجموعة نفسها
2. ما هو التوفيق الذي يضمّ $r$ عنصراً من مجموعة $E$ ؟
- أ)كلّ مجموعة جزئيّة مؤلّفة من $r$ عنصراً من $E$
- ب)كلّ قائمة دون تكرار طولها $r$ من $E$
- ج)كلّ مجموعة جزئيّة من $E$ أيّاً كان عدد عناصرها
3. تختار ثلاثة لاعبين من أحد عشر لاعباً ليركلوا ضربات الجزاء، والترتيب الذي يركلون به مهمّ. أيّ عددٍ تحسب؟
- أ) $(\binom{11}{3})$
- ب) $P_{11}^{3}$
- ج) $11^{3}$
4. ما العلاقة الصحيحة بين $(\binom{n}{r})$ و $P_{n}^{r}$ ؟
- أ) $(\binom{n}{r}) = P_{n}^{r} \times r!$
- ب) $(\binom{n}{r}) = \frac{P_{n}^{r}}{r!}$
- ج) $(\binom{n}{r}) = P_{n}^{r} - r!$
5. ما قيمة $(\binom{5}{7})$ ؟
- أ) $(\binom{7}{5}) = 21$ ، فالرمزان يتبادلان
- ب)قيمةٌ سالبة، لأنّ $(5 - 7)!$ في المقام
- ج)غير معرَّف، لأنّ الشرط $0 \leq r \leq n$ غير محقّق
6. ما قيمة $(\binom{n}{0})$ ؟
- أ) $1$
- ب) $0$
- ج) $n$
7. ما قيمة $(\binom{n}{1})$ ؟
- أ) $n$
- ب) $1$ ، لأنّ الرقم السفليّ واحد
- ج) $n!$
8. ما قيمة $(\binom{n}{n})$ ؟
- أ) $n$
- ب) $n!$
- ج) $1$
9. في حجّة الحزم على مجموعةٍ فيها خمسة عناصر و $r = 3$ : ما الذي يمثّله العدد $3!$ ؟
- أ)عدد الحزم
- ب)عدد التراتيب داخل الحزمة الواحدة
- ج)عدد التراتيب الثلاثيّة كلّها
10. من $32$ بطاقة، ثمانٍ منها حمراء، كم سحباً من خمس بطاقات يضمّ تماماً بطاقتين حمراوين؟
- أ) $(\binom{8}{2}) \times (\binom{24}{3})$
- ب) $(\binom{8}{2}) \times (\binom{30}{3})$
- ج) $(\binom{32}{5}) - (\binom{24}{5})$
11. كم سحباً من خمس بطاقات يضمّ على الأقلّ بطاقةً واحدةً تحمل الرقم $1$ ؟ (أربع بطاقاتٍ تحمل الرقم $1$ .)
- أ) $(\binom{4}{1}) \times (\binom{28}{4})$
- ب) $(\binom{28}{5}) - (\binom{32}{5})$
- ج) $(\binom{32}{5}) - (\binom{28}{5}) = 103096$
12. في بعض الكتب القديمة تجد الرمز $C_{9}^{4}$ . ماذا يساوي بالترميز المستعمل اليوم؟
- أ) $(\binom{4}{9})$
- ب) $(\binom{9}{4})$
- ج) $P_{9}^{4}$

سلّم التصحيح

1. ج نعم، وهذه هي الجملة التي يقوم عليها الدرس كلّه. الاختبار قبل كلّ حساب: هل يتغيّر الجواب إذا غيّرتَ مواضع العناصر؟ هنا لا، فالعدّ عدّ توافيق.
2. أ نعم، بنصّ تعريف الكتاب، بشرط $0 \leq r \leq n$ . ولاحظ ما ليس في التعريف: لا ذكر لترتيبٍ ولا لمواضع.
3. ب نعم. ترتيب الركل يغيّر الحالة، فالقائمة هي المطلوب لا المجموعة. والعلاقة بينهما $P_{11}^{3} = (\binom{11}{3}) \times 3!$ .
4. ب نعم، وهي المبرهنة نفسها مقلوبةً: $P_{n}^{r} = (\binom{n}{r}) \times r!$ . كلّ توفيقٍ ينهار إليه $r!$ ترتيباً، فالقسمة تزيل التكرار.
5. ج نعم، ولا يحتاج الأمر إلى صيغة: من خمسة عناصر لا تُبنى مجموعةٌ جزئيّةٌ فيها سبعة. تحقّق من الشرط قبل أن تكتب الكسر.
6. أ نعم. المجموعة الجزئيّة الوحيدة التي فيها صفر عنصر هي المجموعة الخالية، وهي موجودة. اسأل «كم مجموعةً جزئيّةً بهذا الحجم» ويخرج الجواب بلا صيغة.
7. أ نعم. لكلّ عنصرٍ مجموعةٌ جزئيّةٌ واحدة تضمّه وحده، فعددها بقدر عناصر $E$ . يريها الكتاب على $E = {u, v, w, x}$ : أربع مجموعات لأربعة عناصر.
8. ج نعم، وهي $E$ بكاملها. ولاحظ التناظر مع $(\binom{n}{0}) = 1$ : أخذ كلّ شيءٍ وأخذ لا شيء، كلاهما بطريقةٍ واحدة.
9. ب نعم. المجموعة الجزئيّة الواحدة تُرتَّب بـ $3! = 6$ طرائق، وهي الستّة المكتوبة في جدول الدرس. ومن $3! \times q = 60$ يخرج $q = 10$ .
10. أ نعم. «تماماً» شرطان: اثنتان حمراوان من الثماني، وثلاثٌ من غير الحمراء وحدها، وعددها $32 - 8 = 24$ . الناتج $28 \times 2024 = 56672$ .
11. ج نعم، وهذا طريق الكتاب. «على الأقلّ واحدة» تنقلب إلى «ولا واحدة»، وهي حالةٌ واحدةٌ بسيطة: اختر الخمس من الـ $28$ التي لا تحمل الرقم $1$ .
12. ب نعم. في القديم يكتب حجم المجموعة تحت وعدد المختار فوق، وفي الجديد بالعكس. العدد واحد، والكتاب يذكر ذلك في حاشيةٍ ويلتزم بالجديد.