الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: تقاطع ثلاثة مستويات

المستقيمات والمستويات في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

  1. 1. المعادلة 2x−y+z−4=0 في الفراغ تصف:

    • أ)مستقيماً
    • ب)نقطةً
    • ج)مستوياً

  2. 2. لتعيين P1∩P2∩P3 هندسيّاً، بماذا يبدأ الكتاب؟

    • أ)بتعيين P1∩P2 ثمّ قطعه بـP3
    • ب)بجمع المعادلات الثلاث في معادلةٍ واحدة
    • ج)بحساب الأشعّة الناظمة الثلاثة ثمّ جمعها

  3. 3. لماذا يفترض الكتاب أنّ المستويات الثلاثة مختلفة مثنى مثنى؟

    • أ)لأنّ المستويات المنطبقة لا تتقاطع
    • ب)لأنّ انطباق اثنين منها يعيد المسألة إلى تقاطع مستويين، وقد دُرست قبل ذلك
    • ج)لأنّ الجملة لا تُحلّ إلّا عندئذ

  4. 4. الشعاعان الناظمان لمستويين مرتبطان خطّيّاً. ما الذي لم يُحسم بعد؟

    • أ)لا شيء، فهما منطبقان
    • ب)هل هما منطبقان أم متوازيان ومختلفان
    • ج)لا شيء، فهما متوازيان ومختلفان

  5. 5. اقسم معادلة −2x−2y+4z−1=0 لتأخذ الصورة التي أوّل معاملها 1. ماذا تجد؟

    • أ)x+y−2z−12=0
    • ب)x+y−2z−1=0
    • ج)x+y−2z+12=0

  6. 6. المستوي P:−x+2y+3z−5=0. أيّ سطرٍ يوافقه في الجملة؟

    • أ)−x+2y+3z=5
    • ب)−x+2y+3z=−5
    • ج)−x+2y−3z=5

  7. 7. في الجملة −x+2y+3z=5 و3x−y−4z=−5، نجمع إلى السطر الثاني ثلاثة أمثال الأوّل. ما الناتج؟

    • أ)5y+5z=10
    • ب)5y+5z=−5
    • ج)5y+5z=0

  8. 8. بعد أن وجدتَ z=2، عوّضتَ في السطر الأوّل −x+2y+3z=5 مباشرةً. ماذا يحدث؟

    • أ)تخرج قيمة x
    • ب)تخرج قيمة y
    • ج)تبقى معادلةٌ بمجهولين، فلا تخرج قيمةٌ واحدة

  9. 9. حلّ الجملة هو (x,y,z)=(1,0,2). ما جواب السؤال الهندسيّ؟

    • أ)أنّ الجملة تقبل حلاًّ وحيداً
    • ب)أنّ المستويات تتقاطع في النقطة I(1,0,2)
    • ج)أنّ المستويات تتقاطع في مستقيمٍ يمرّ بـ(1,0,2)

  10. 10. تقاطع ثلاثة مستويات مستقيمٌ Δ. كيف يقبل الجدول أن يُعرَّف Δ؟

    • أ)باثنتين من المعادلات الثلاث
    • ب)بتمثيلٍ وسيطيّ فقط
    • ج)بمعادلةٍ واحدةٍ من الثلاث

  11. 11. جملةٌ لا تقبل حلاًّ وحيداً. ما الذي يمكن أن يكون تقاطع مستوياتها؟

    • أ)خالياً لا غير
    • ب)مستقيماً لا غير
    • ج)خالياً، أو مستقيماً، أو مستوياً

  12. 12. وجدتَ أنّ P1 وP3 متوازيان ومختلفان. هل تحتاج إلى P2؟

    • أ)نعم، فلا يُحكم قبل النظر في المستويات الثلاثة
    • ب)لا، فالتقاطع خالٍ مهما كان P2
    • ج)لا، ويكفي أن تنظر في مستويين أيّاً كانا

سلّم التصحيح

  1. 1. ج نعم، وشعاعه الناظم n⃗(2,−1,1) يُقرأ من المعاملات بلا حساب. وهذه هي الترجمة التي يبنى عليها الدرس كلّه.
  2. 2. أ نعم، خطوتان. والفائدة أنّ الخطوة الثانية درسٌ سابق: إن كان P1∩P2 مستقيماً فأنت أمام مستقيمٍ ومستوٍ.
  3. 3. ب نعم، الفرض يقطع الحالة المعروفة سابقاً ويُبقي الجديد. ولهذا هو فرضٌ لبناء الفقرة، وليس خاصّةً للمستويات: جدول الصفحة التالية يصنّف كلّ الحالات بلا فرض.
  4. 4. ب نعم، بقي احتمالان والفصل بينهما بخطوة: اقسم إحدى المعادلتين لتتّفق الصورتان، ثمّ قارن الحدّ الثابت. هكذا يفعل المثال الأوّل بـ−1 و−12.
  5. 5. ج نعم، القسمة على −2 تقلب إشارة كلّ حدٍّ بما فيه الثابت. وبهذه الصورة تصير المقارنة مع x+y−2z+1=0 ممكنة، والحدّان 12 و1 مختلفان.
  6. 6. أ نعم، نقل الحدّ الثابت يقلب إشارته. والكتاب يفعل ذلك في السطور الثلاثة بلا تعليق، فانظر إليه بنفسك قبل أن تبدأ الحذف.
  7. 7. أ نعم. على اليسار 3x−3x=0 و−y+6y=5y و−4z+9z=5z، وعلى اليمين −5+3×5=10. ثمّ اقسم على 5 فيصير السطر y+z=2.
  8. 8. ج نعم، −x+2y=−1 وحدها لا تحسم شيئاً. والترتيب هو الحلّ: ضع z في السطر الذي فيه y وحده، ثمّ ضع الاثنين في السطر الأوّل.
  9. 9. ب نعم، والسؤال الذي يطلب «تعيين إحداثيّاتها» يطلب الجوابين معاً: الحلّ الوحيد للجملة، والنقطة التي يمثّلها.
  10. 10. أ نعم، وهذا نصّ الجدول. فجوابٌ يترك Δ موصوفاً بمعادلتين جوابٌ تامّ، ولا يُنقص منه شيء.
  11. 11. ج نعم، وهذه هي الثلاثة الباقية في الجدول. ولهذا لا يكفي أن تعرف أنّ الحلّ الوحيد مستحيل، بل عليك أن تفصل بين الثلاثة بالحساب.
  12. 12. ب نعم، وهذا ما يفعله المثال الأوّل في الكتاب: ينتهي دون أن يستعمل P2 مرّةً واحدة، ولا ينبّه إلى ذلك.