الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: التّمثيلات الوسيطيّة

المستقيمات والمستويات في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. من أين تقرأ مركّبات شعاع التوجيه في تمثيلٍ وسيطيّ؟
- أ)من الحدود الثابتة
- ب)من معاملات الوسيط $t$
- ج)من قيمة $t$ التي تجعل $x$ معدوماً
2. المستقيم $x = 2 t - 1$ و $y = - t + 4$ و $z = 3 t$ . أيّ النقاط الآتية عليه؟
- أ) $(2, - 1, 3)$
- ب) $(- 1, 4, 0)$
- ج) $(1, 4, 0)$
3. ما الذي يفرّق بين التمثيل الوسيطيّ للمستقيم $(A B)$ وذاك للقطعة $[A B]$ ؟
- أ)مجال الوسيط وحده
- ب)المعادلات الثلاث تختلف
- ج)شعاع التوجيه يختلف
4. أيّ وصفٍ يعطي نصف المستقيم $[B A)$ ؟
- أ)نقطة الانطلاق $A$ والشعاع $\vec{A B}$ والمجال $[0, + \infty [$
- ب)نقطة الانطلاق $B$ والشعاع $\vec{A B}$ والمجال $[0, + \infty [$
- ج)نقطة الانطلاق $B$ والشعاع $\vec{B A}$ والمجال $[0, + \infty [$
5. تدرس تقاطع مستقيمين، لكلٍّ منهما تمثيلٌ وسيطيّ مكتوبٌ بالحرف $t$ . ما أوّل ما تفعله؟
- أ)تساوي بين الجملتين مباشرةً بالحرف $t$
- ب)تضيف المعادلة $t = s$ إلى الجملة
- ج)تسمّي وسيط المستقيم الثاني بحرفٍ آخر
6. شعاعا توجيه مستقيمين في الفراغ غير مرتبطين خطّيّاً. ماذا تستنتج؟
- أ)أنّهما متقاطعان أو متخالفان، ولا شيء أكثر
- ب)أنّهما يتقاطعان
- ج)أنّهما متخالفان
7. في جملة تقاطعٍ من ثلاث معادلاتٍ بمجهولين، حللتَ اثنتين فوجدتَ $t$ و $s$ . هل انتهيت؟
- أ)لا، حتّى تتحقّق المعادلة الثالثة
- ب)نعم، فمجهولان يكفيهما معادلتان
- ج)نعم، إن كانت القيمتان موجبتين
8. شعاعا التوجيه مرتبطان خطّيّاً. ماذا تستنتج؟
- أ)أنّهما متوازيان ومختلفان
- ب)أنّهما منطبقان
- ج)أنّ المستقيمين متوازيان، وقد يكونان منطبقين
9. وجدتَ $\vec{u}^{'} = - 3 \vec{u}$ . هل تمنع الإشارة السالبة أن يكون المستقيمان منطبقين؟
- أ)نعم، لأنّ الاتّجاهين متعاكسان
- ب)لا، الإشارة لا تقول شيئاً عن الانطباق
- ج)نعم، إلّا إذا كان العامل $- 1$
10. في الفراغ، ماذا تصف المعادلة $2 x - y + 3 z - 5 = 0$ ؟
- أ)مستقيماً
- ب)مستوياً
- ج)نقطةً
11. في مسألة تقاطع وصلتَ إلى $t = 1$ و $s = 0$ . ما الجواب المطلوب؟
- أ)القيمتان $t = 1$ و $s = 0$
- ب)الفرق $t - s$
- ج)إحداثيّات النقطة، بعد تعويض $t$ في جملة $d$
12. هل يجوز أن يكون شعاع توجيه مستقيمٍ معدوماً؟
- أ)لا، وإلّا أعطت الجملة نقطةً واحدة مهما تغيّر الوسيط
- ب)نعم، فالجملة تبقى مكتوبةً بصورةٍ صحيحة
- ج)نعم، إذا كانت نقطة الانطلاق هي المبدأ

سلّم التصحيح

1. ب نعم. في $x = a t + x_{0}$ يكون $a$ هو معامل $t$ ، والشعاع هو $\vec{u} (a, b, c)$ . تقرؤه بلا حساب.
2. ب نعم، وهي ما يعطيه $t = 0$ . الثوابت الثلاثة $- 1$ و $4$ و $0$ هي إحداثيّات نقطةٍ من المستقيم مباشرةً.
3. أ نعم. المعادلات الثلاث هي هي حرفاً بحرف، و $t \in R$ تعطي المستقيم و $t \in [0, 1]$ تعطي القطعة.
4. ج نعم. القوس المعقوف يقف عند المبدأ، فالمبدأ هو $B$ ، والسير في جهة $A$ يعني الشعاع $\vec{B A}$ .
5. ج نعم، وهذا ما يقوله الكتاب بالأحمر. الوسيط يخصّ المستقيم لا النقطة، ولا شيء يجعل قيمته على الأوّل تساوي قيمته على الثاني.
6. أ نعم. في المستوي كان عدم التوازي يكفي للتقاطع، وفي الفراغ يبقى وضعٌ ثالث. الجملة وحدها تفصل.
7. أ نعم. معادلتان بمجهولين تعطيان قيمتين دائماً تقريباً، فهما ليستا اختباراً. المعادلة الثالثة هي التي تقبل أو ترفض.
8. ج نعم، والفصل بين الحالتين بخطوةٍ واحدة: خذ نقطةً من أحدهما واسأل هل تحقّق جملة الآخر.
9. ب نعم. ضرب شعاع التوجيه في أيّ عددٍ غير معدوم يترك المستقيم في مكانه. ما ينقلب هو جهة السير عند تزايد الوسيط، لا المستقيم.
10. ب نعم، وهذا هو الخطأ الوحيد الذي تنصّ عليه فقرة «أخطاء يجب تجنّبها» في نهاية الوحدة: معادلةٌ واحدة من هذا الشكل هي معادلة مستوٍ لا مستقيم.
11. ج نعم، وعوّض $s$ في جملة $d^{'}$ كتحقّق: يجب أن تخرج النقطة نفسها، وإلّا ففي النقل خطأ.
12. أ نعم. مع $\vec{u} = \vec{0}$ يصير كلّ سطرٍ ثابتاً، فتنكمش «المجموعة» إلى النقطة $A$ وحدها. الكتاب لا يذكر الشرط، وهو لازم.