الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: المستقيم والمستوي بصفتهما مراكز أبعاد متناسبة

المستقيمات والمستويات في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. في مبرهنة 1، ما الذي يفرّق بين المستقيم $(A B)$ والقطعة $[A B]$ ؟
- أ)مجموع المعاملين
- ب)عدد النقاط المثقّلة
- ج)مجال $t$
2. $M$ مركز الأبعاد المتناسبة للنقطتين $(A, - 2)$ و $(B, 1)$ ، فحسبتَ $t = - 1$ . ما الحكم؟
- أ)الحساب سليم، و $M$ على المستقيم $(A B)$ خارج القطعة
- ب)خطأ في الحساب، فـ $t$ يجب أن تكون في $[0, 1]$
- ج)الحساب سليم، و $M$ منتصف $[A B]$
3. أيّ زوجٍ من النقاط المثقّلة لا يعطي مركز أبعادٍ متناسبة أصلاً، مع $A \neq B$ ؟
- أ) $(A, 3)$ و $(B, - 3)$
- ب) $(A, - 2)$ و $(B, 1)$
- ج) $(A, 0)$ و $(B, 5)$
4. أيّ شرطٍ على المعاملات يعطي داخل المثلّث $A B C$ بالضبط؟
- أ) $α \geq 0$ و $β \geq 0$ و $γ \geq 0$ و $α + β + γ > 0$
- ب) $α > 0$ و $β > 0$ و $γ > 0$
- ج) $α + β + γ = 1$
5. $M$ مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط $(A, 2)$ و $(B, 3)$ و $(C, 0)$ ، و $A B C$ مثلّث. أين تقع $M$ ؟
- أ)داخل المثلّث $A B C$
- ب)على القطعة $[A B]$ ، أي على حدود المثلّث
- ج)في النقطة $C$
6. $M$ في المستوي $(A B C)$ وتحقّق $\vec{A M} = 3 \vec{A B} + \vec{A C}$ . ما المعاملات الثلاثة؟
- أ) $(A, 1)$ و $(B, 3)$ و $(C, 1)$
- ب) $(A, - 3)$ و $(B, 1)$ و $(C, 3)$
- ج) $(A, - 3)$ و $(B, 3)$ و $(C, 1)$
7. في مبرهنة 3 تظهر المعاملات $(A, 1 - x - y)$ و $(B, x)$ و $(C, y)$ . ما $x$ و $y$ ؟
- أ)إحداثيّا النقطة $M$ في معلمٍ متجانس
- ب)معاملان، ويجوز أن يكونا سالبين
- ج)عددان موجبان تماماً، لأنّ $M$ داخل المثلّث
8. $M$ مركز $(A, α)$ و $(B, β)$ و $(C, γ)$ ، وجمعتَ $B$ و $C$ في نقطةٍ $I$ . بأيّ معاملٍ تدخل $I$ ؟
- أ) $β + γ$
- ب) $1$
- ج) $2$ ، لأنّها تنوب عن نقطتين
9. في المثال الأوّل جمعتَ $(A, 2)$ مع $(D, 1)$ و $(C, 1)$ مع $(B, 2)$ ، فخرجت $G$ . ماذا تفعل بعد ذلك؟
- أ)تُجمّع النقاط الأربع نفسها بمعاملاتها نفسها بطريقةٍ ثانية
- ب)تتوقّف، فالتجميع الأوّل أعطى $G$ وهذا كافٍ
- ج)تُغيّر معاملات النقاط الأربع ثمّ تُجمّع من جديد
10. $K$ مركز $(A, 1)$ و $(B, 2)$ و $(C, 1)$ و $(H, 1)$ ، وتريد أن يظهر منتصفا $[A B]$ و $[B C]$ . ما الخطوة؟
- أ)لا يجوز تفكيك معامل، فتبحث عن تجميعٍ آخر
- ب)تستبدل $(B, 2)$ بـ $(B, 1)$
- ج)تكتب $(B, 2)$ على صورة $(B, 1)$ و $(B, 1)$
11. لإثبات وقوع أربع نقاطٍ في مستوٍ واحد، ما الذي تُثبته؟
- أ)أنّ إحداها مركز الأبعاد المتناسبة للنقطتين الأخريين
- ب)أنّ إحداها مركز الأبعاد المتناسبة للنقاط الثلاث الأخرى
- ج)أنّ مجموع معاملاتها يساوي $1$
12. أثبتَ أنّ كلّ مركزٍ للنقاط $(A, α)$ و $(B, β)$ و $(C, γ)$ بمعاملاتٍ موجبةٍ تماماً يقع داخل المثلّث. هل تمّ برهان نتيجة 2؟
- أ)نعم، هذا هو نصّ النتيجة
- ب)لا، يبقى أن تُدرس الحالة $α = 0$
- ج)لا، يبقى أن تُثبت أنّ كلّ نقطةٍ داخل المثلّث تُكتب على هذه الصورة

سلّم التصحيح

1. ج نعم. الشرط الشعاعيّ واحدٌ حرفاً بحرف في ① و②، والمجال وحده يتغيّر: $R$ تعطي المستقيم، و $[0, 1]$ تعطي القطعة.
2. أ نعم. النقطة ① من مبرهنة 1 تدع $t$ تتحوّل في $R$ كلّها، فالقيمة السالبة هي الحال العامّ على المستقيم. و $\vec{A M} = - \vec{A B}$ تضع $M$ من الجهة الأخرى لـ $A$ .
3. أ نعم، المجموع $3 - 3 = 0$ . والشرط يصير $3 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ ، أي $3 \vec{B A} = \vec{0}$ ، وهي مستحيلةٌ لأنّ $A \neq B$ . لا نقطة تحلّها.
4. ب نعم، موجبةٌ تماماً وكلٌّ على حدة. هذا نصّ نتيجة 2، والعلامة $>$ فيها ليست تفصيلاً: هي الفرق بين الداخل والحدود.
5. ب نعم. المعامل المعدوم يُخرج $C$ من الشرط، فيبقى $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ بمعاملين موجبين، وذلك يضع $M$ بين $A$ و $B$ .
6. ج نعم. $x = 3$ و $y = 1$ ، فالمعامل الأوّل $1 - 3 - 1 = - 3$ ، والمجموع $- 3 + 3 + 1 = 1$ كما يجب.
7. ب نعم. جاءا من التفكيك $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ، والمبرهنة لا تشترط عليهما إشارة. مجموعهما مع المعامل الأوّل يبقى $1$ على كلّ حال.
8. أ نعم، النائب يرث مجموع معاملات من ناب عنهم. ولذلك يكتب الكتاب $(I, β + γ)$ في برهان نتيجة 2.
9. أ نعم، وهذه هي فكرة الحلّ كلّها. التجميع الثاني $(I, 4)$ و $(K, 2)$ هو الذي يُدخل $I$ و $K$ في الحساب ويُثبت الاستقامة.
10. ج نعم، والكتاب يطبع القائمة بخمس نقاطٍ مثقّلة على هذه الصورة. المجموع يبقى $5$ ، فالنقطة لا تتحرّك، و $B$ تخدم تجميعين.
11. ب نعم، وهذا ما تقوله ملاحظة الكتاب صفحة 69. ثلاث نقاطٍ باقية تعيّن مستوياً، ومبرهنة 3 تترجم ذلك إلى انتماء.
12. ج نعم، وهو الاتّجاه الذي يبدأه الكتاب بكلمة «وبالعكس» أعلى صفحة 68. النتيجة مساواةٌ بين مجموعتين، والمساواة تحتاج احتواءين.