مصطلحات المنطق الرياضي

الاقتضاء

نسمّي قضيّةً كلّ عبارةٍ رياضيّة نسأل عنها: أصحيحةٌ هي أم خطأ؟ وكتابك يسمّيها أحياناً «خاصّة»، كما في $E(n)$. خذ القضيّتين: $(P)$: «$ABC$ مثلّثٌ متساوي الساقين في $A$»، و$(Q)$: «الزاويتان $\widehat{CBA}$ و$\widehat{BCA}$ متساويتان». المقولة «إذا كان $ABC$ متساوي الساقين في $A$، كانت الزاويتان متساويتين» لا تقول إنّ المثلّث متساوي الساقين، بل تقول: متى صحّت $(P)$ صحّت $(Q)$.

نقول إنّ $(P)$ تقتضي $(Q)$، أو إنّ $(Q)$ نتيجةُ $(P)$، ونكتب $(P)\Rightarrow (Q)$. ويُعبَّر عن الاقتضاء بصيغٍ متعدّدة معناها واحد: «إذا $(P)$، فإنّ $(Q)$»، و«$(P)$، إذن $(Q)$»، و«إذا كان $(P)$، كان $(Q)$». مثال ذلك: إذا كان $x=2$، فإنّ $x^2=4$.

تذكّر: الاقتضاء لا يقول شيئاً عن الحالة التي تكون فيها $(P)$ خطأ. القضيّة «إذا كان $x=2$ فإنّ $x^2=4$» صحيحة، ولا تمنع أن يكون $x^2=4$ و$x\mathrm{\ne }2$ معاً، كما عند $x=-2$. وهذا المثال الأخير منّا، لا من الدليل.

وأحياناً يأتي الاقتضاء مضمراً، من غير «إذا». المقولة «العددان الحقيقيّان اللذان لهما القيمة المطلقة ذاتها متساويان أو متعاكسان» معناها: إذا كان للعددين $a$ و$b$ القيمة المطلقة نفسها، كانا متساويين أو متعاكسين.

شرطٌ كافٍ وشرطٌ لازم

خذ المضلّع الرباعيّ $ABCD$ والاقتضاء: إذا كان $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$، فإنّ $ABCD$ متوازي الأضلاع. يقول الدليل عن هذا الاقتضاء جملتين، كلٌّ منهما تنظر إليه من طرف.

تذكّر: في الاقتضاء $(P)\Rightarrow (Q)$: القضيّة $(P)$ شرطٌ كافٍ للقضيّة $(Q)$، أي يكفي أن تتحقّق $(P)$ كي تتحقّق $(Q)$. والقضيّة $(Q)$ شرطٌ لازمٌ للقضيّة $(P)$، أي يلزم، أو يجب، أن تتحقّق $(Q)$ إذا تحقّقت $(P)$.

ففي المثال: أن يكون $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ شرطٌ كافٍ ليكون $ABCD$ متوازي الأضلاع، أي يكفي أن يتحقّق هذا الشرط. وأن يكون $ABCD$ متوازي الأضلاع شرطٌ لازمٌ ليتحقّق $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$، أي يجب أن يكون متوازي الأضلاع إذا تحقّق هذا الشرط.

وهذا الزوج هو ما تحتاجه في درس القيم الحدّيّة، والمثال هنا منّا، لا من الدليل. إذا كان $f$ اشتقاقيّاً على مجالٍ مفتوح $I$، و$c$ من $I$، وكانت $f(c)$ قيمةً حدّيّة محلّيّاً، كان $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$. فانعدام المشتق شرطٌ لازمٌ لوجود قيمةٍ حدّيّة عند $c$. لكنّه ليس شرطاً كافياً: التابع $x\mapsto x^3$ يحقّق $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$، وليست $f(0)$ قيمةً حدّيّة. أمّا أن يغيّر المشتق إشارته عند $c$ فشرطٌ كافٍ.

الاقتضاء المعاكس، والتكافؤ

بدّل طرفي الاقتضاء تحصل على الاقتضاء المعاكس: يسمّى الاقتضاء «$(Q)$ تقتضي $(P)$» الاقتضاءَ المعاكس للاقتضاء «$(P)$ تقتضي $(Q)$». وقد يكون المعاكس خطأً ولو كان الأصل صحيحاً. «إذا قَبِل $n$ القسمة على $6$ قَبِلها على $3$» صحيح، ومعاكسه «إذا قَبِل $n$ القسمة على $3$ قَبِلها على $6$» خطأ: العدد $\mathrm{1<!--\; -->5}$ يقبل القسمة على $3$ ولا يقبلها على $6$.

وقد يكون المعاكس صحيحاً أيضاً. «إذا كان $ABC$ مثلّثاً تحقّق أضلاعه $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$، كان قائماً في $A$» صحيح، ومعاكسه «إذا كان $ABC$ قائماً في $A$، كان $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$» صحيحٌ كذلك. عندئذٍ نقول إنّ القضيّتين متكافئتان، ونكتب:

تذكّر: $(P)$ و$(Q)$ متكافئتان إذا كانت $(P)$ تقتضي $(Q)$، و$(Q)$ تقتضي $(P)$. ونقرأ ذلك: «$(P)$ تكافئ $(Q)$»، أو «$(P)$ إذا وفقط إذا $(Q)$»، أو «$(Q)$ شرطٌ لازمٌ وكافٍ للقضيّة $(P)$». فالبحث عن شرطٍ لازمٍ وكافٍ لتكون قضيّةٌ صحيحة هو البحث عن قضيّةٍ مكافئةٍ لها.

مثال الدليل: إذا كان $a$ و$b$ عددين حقيقيّين موجبين، كان $a\le b$ إذا وفقط إذا كان $a^2\le b^2$. و«موجب» هنا بمعناها في كتابك: أكبر من الصفر أو يساويه. وشرط الإشارة ليس زينة: من دونه يسقط التكافؤ. فالقضيّة $x\le 2$ لا تكافئ $x^2\le 4$، لأنّ $x=-3$ يحقّق الأولى ولا يحقّق الثانية. والصحيح:

انتبه: الرمز $\Rightarrow$ خاصٌّ بالمنطق الرياضي، ويُستعمل حصراً بين قضيّتين أولاهما تقتضي الثانية. فلا تكتبه سهماً للحساب، كأن تكتب «نطرح المعادلتين $\Rightarrow$» ثمّ نتيجة الطرح؛ هذه كتابةٌ لا معنى لها. والرمز $\iff$ لا يوضع بين قضيّتين إلّا إذا صحّ الاقتضاء في الاتّجاهين كليهما.

«و» و«أو»

الحرف «و» في الرياضيات كما في اللغة المألوفة: «العدد الطبيعيّ $n$ زوجيٌّ ومضاعفٌ للعدد $3$» تعني أنّ $n$ يحمل الصفتين معاً. أمّا «أو» فليست كذلك. في الكلام المألوف قد تكون مانعة: «الباب مفتوحٌ أو مغلق» لا تسمح بالحالتين معاً. وقد تكون مخيّرة: «يُقبَل الطالب إذا كانت درجته في الرياضيات $\mathrm{5<!--\; -->5}$ على الأقلّ أو كان مجموع درجاته $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->0}$ على الأقلّ»، فمن حقّق الشرطين معاً قُبل أيضاً. وفي الرياضيات تُستعمل «أو» مخيّرةً غير مانعة.

فالقضيّة «$n$ زوجيٌّ أو مضاعفٌ للعدد $3$» تصحّ في ثلاث حالات: $n$ زوجيّ وليس مضاعفاً للعدد $3$، أو مضاعفٌ للعدد $3$ وليس زوجيّاً، أو زوجيٌّ ومضاعفٌ للعدد $3$ معاً، مثل $6$.

تذكّر: ومن هنا قاعدة معادلات الجداء: في حالة عددين حقيقيّين $a$ و$b$، $a\times b=0$ تكافئ $a=0$ أو $b=0$. أي إمّا $a=0$ و$b\mathrm{\ne }0$، وإمّا $a\mathrm{\ne }0$ و$b=0$، وإمّا $a=0$ و$b=0$. وفي المقابل $a^2+b^2=0$ تكافئ $a=0$ و$b=0$.

انتبه: من قرأ «أو» بمعنى «و» أضاع الحلول. المعادلة $x(x-1)=0$ لها حلّان، $0$ و$1$، مع أنّه لا يوجد عددٌ يعدم العاملين معاً.

المكمّمات: «أيّاً كان» و«يوجد»

عباراتٌ مثل «مهما يكن» و«في حالة» و«أيّاً كان» تسمّى مكمّم شمول. القضيّة «مهما يكن العدد الحقيقيّ $x$ من المجال $[0,1]$، يكن $x^2\le x$» تعني: كلّ عنصرٍ $x$ من هذا المجال يحقّق $x^2\le x$. وهي صحيحة، لأنّ $x^2-x=x(x-1)$، وهو سالبٌ أو معدومٌ على $[0,1]$.

والعبارة «يوجد» تسمّى مكمّم وجود. القضيّة «يوجد عددٌ طبيعيّ $n$ يحقّق $n^2+n-\mathrm{3<!--\; -->0}=0$» تعني: عنصرٌ واحدٌ على الأقلّ يحقّق المعادلة. وهي صحيحة، فالعدد $5$ يحقّقها.

تذكّر: لإثبات قضيّة وجود يكفي مثالٌ واحدٌ صحيح. أمّا قضيّة الشمول فلا يُثبتها مثال، ولو كثرت الأمثلة: عليك أن تبرهن لكلّ عنصر. ومن هنا، وهذا ربطٌ منّا لا من الدليل، يحتاج كتابك إلى البرهان بالتدريج، فالقضيّة «$E(n)$ صحيحةٌ أيّاً كان $n\ge n_0$» قضيّة شمول.

النفي، والمثال المضادّ

نفي القضيّة $(P)$ قضيّةٌ نرمز لها بالرمز $\mathrm{\neg }(P)$: إذا كانت $(P)$ صحيحة كان نفيها خطأ، وإذا كانت $(P)$ خطأ كان نفيها صحيحاً. نفي «المثلّث $ABC$ متساوي الساقين» هو «المثلّث $ABC$ ليس متساوي الساقين».

وعند النفي تتبادل «و» و«أو». نفي «المثلّث $ABC$ قائمٌ ومتساوي الساقين» هو «المثلّث $ABC$ ليس قائماً أو ليس متساوي الساقين»، وهذا يصحّ في ثلاث حالات: قائمٌ وليس متساوي الساقين، أو متساوي الساقين وليس قائماً، أو ليس قائماً وليس متساوي الساقين. وفي رمية حجر نردٍ مرّةً واحدة، إذا رمزنا بالرمز $X$ إلى عدد النقاط، فنفي «$X$ فرديٌّ أو $X\le 3$» هو «$X$ ليس فرديّاً و$X>3$». الأولى تتحقّق عند $1$ و$2$ و$3$ و$5$، ونفيها عند $4$ و$6$ وحدهما.

تذكّر: نفي «$(P_1)$ و$(P_2)$» هو «$\mathrm{\neg }(P_1)$ أو $\mathrm{\neg }(P_2)$». ونفي «$(P_1)$ أو $(P_2)$» هو «$\mathrm{\neg }(P_1)$ و$\mathrm{\neg }(P_2)$». ونفي «مهما يكن $x$ من $E$، يحقّق $x$ الخاصّة $P$» هو «يوجد $x$ من $E$ لا يحقّق $P$». ونفي «يوجد $x$ من $E$ يحقّق $P$» هو «مهما يكن $x$ من $E$، لا يحقّق $x$ الخاصّة $P$».

ومن السطر الثالث تخرج أداةٌ تستعملها كثيراً: لتُثبت أنّ قضيّة شمولٍ على مجموعةٍ $E$ ليست صحيحة، يكفيك عنصرٌ واحدٌ من $E$ تكون عنده خطأً. نقول عندئذٍ إنّنا أقمنا الدليل بسرد مثالٍ مضادّ. القضيّة «جميع الأعداد الأوّليّة فرديّة» خطأ، ودليل ذلك العدد $2$.

انتبه: ولا تعكس الأداة: مثالٌ واحدٌ صحيح لا يُثبت قضيّة شمول. ولهذا فكلمة «دائماً» في أيّ قاعدةٍ تكتبها وعدٌ ثقيل: عنصرٌ واحدٌ يخالفها يُسقطها كلّها.

نقض الفرض، واسمٌ واحد لطريقتين

القول «$(P)$ تقتضي $(Q)$» يكافئ القول «$\mathrm{\neg }(Q)$ تقتضي $\mathrm{\neg }(P)$». فإذا طُلب برهان الأوّل، أمكننا برهان الثاني. مثال الدليل: نعلم أنّه إذا كان المثلّث $ABC$ قائماً في $A$، كان $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$. ليكن $AB=2$ و$AC=3$ و$BC=4$. عندئذٍ $A{B}^2+A{C}^2=\mathrm{1<!--\; -->3}$ و$B{C}^2=\mathrm{1<!--\; -->6}$، فالمساواة لا تتحقّق، إذن المثلّث ليس قائماً في $A$. أثبتنا نفي الفرض من نفي النتيجة.

انتبه: انتبه إلى الترتيب. $\mathrm{\neg }(Q)\Rightarrow \mathrm{\neg }(P)$ تكافئ الأصل، أمّا $\mathrm{\neg }(P)\Rightarrow \mathrm{\neg }(Q)$ فلا، إنّها تكافئ الاقتضاء المعاكس. من «إذا كان $n$ مضاعفاً للعدد $6$ كان مضاعفاً للعدد $3$» لا يخرج «إذا لم يكن $n$ مضاعفاً للعدد $6$ لم يكن مضاعفاً للعدد $3$»، والعدد $\mathrm{1<!--\; -->5}$ شاهد.

يسمّي دليل المدرّس هذه الطريقة «نقض الفرض». لكنّ كتابك يستعمل الاسم نفسه على الصفحة $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->4}$ لطريقةٍ قريبةٍ وغير مطابقة: «لنفكّر بأسلوب نقض الفرض. لنفترض أنّ ...»، ثمّ يصل إلى ما «يناقض تعريف نهاية متتالية». هذا هو البرهان بالخلف: نفترض عكس المطلوب، فنصل إلى تناقض، فنستنتج أنّ ما افترضناه مستحيل.

تذكّر: الطريقتان تبدآن من النفي، لكنّهما تفعلان شيئين مختلفين. الأولى تُثبت اقتضاءً بإثبات «$\mathrm{\neg }(Q)\Rightarrow \mathrm{\neg }(P)$». والثانية تُسقط افتراضاً بإيصاله إلى تناقض. إذا قرأت «نقض الفرض» في برهان، فانظر أيّهما يجري.

البرهان بالتدريج: الكلمات كلّها في سطرين

ما يلي ليس في الدليل، بل هو ربطٌ منّا بين هذه الكلمات والبرهان بالتدريج، الدرس الثاني في كتابك. في البرهان بالتدريج، الخطوة ② اقتضاء: «صحّة $E(p)$ تقتضي صحّة $E(p+1)$». لا تزعم فيها أنّ $E(p)$ صحيحة، بل تُثبت أنّها إن صحّت صحّت التي تليها. ولهذا تحتاج الخطوة ① كي تبدأ السلسلة. والنتيجة قضيّة شمول: «$E(n)$ صحيحةٌ أيّاً كان $n\ge n_0$»، وقضيّة الشمول لا تُثبت بالأمثلة.