ورقة تمارين: مصطلحات المنطق الرياضي

1. القضيّة «إذا كان $x=2$ فإنّ $x^2=4$» صحيحة. ماذا تقول عن عددٍ حقيقيّ $x\mathrm{\ne }2$؟

• أ)إنّ $x^2\mathrm{\ne }4$
• ب)إنّ $x^2=4$
• ج)لا تقول عنه شيئاً

2. القضيّة «إذا قَبِل العدد الطبيعيّ $n$ القسمة على $6$، قَبِلها على $3$» صحيحة. ما حال الاقتضاء المعاكس لها؟

• أ)صحيح، لأنّ الأصل صحيح
• ب)لا يمكن الحكم عليه
• ج)خطأ، والعدد $\mathrm{1<!--\; -->5}$ مثالٌ مضادّ

3. في الاقتضاء «إذا كان $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$، فإنّ $ABCD$ متوازي الأضلاع»، ما الشرط الكافي؟

• أ)أن يكون $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
• ب)أن يكون $ABCD$ متوازي الأضلاع
• ج)لا شرط كافياً في اقتضاء

4. التابع $f$ اشتقاقيّ على مجالٍ مفتوح $I$، و$c$ من $I$. ما وصف الشرط $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$ بالنسبة إلى أن تكون $f(c)$ قيمةً حدّيّة محلّيّاً؟

• أ)شرطٌ لازم، وليس كافياً
• ب)شرطٌ كافٍ
• ج)شرطٌ لازمٌ وكافٍ

5. أيّ القضايا الآتية صحيحة أيّاً كان العدد الحقيقيّ $x$؟

• أ)$x\le 2\iff x^2\le 4$
• ب)$x^2\le 4\iff -2\le x\le 2$
• ج)$x^2\le 4\iff x\ge -2$

6. متى تصحّ القضيّة «$a\le b$ إذا وفقط إذا كان $a^2\le b^2$»؟

• أ)أيّاً كان العددان الحقيقيّان $a$ و$b$
• ب)إذا كان $a$ و$b$ سالبين
• ج)إذا كان $a$ و$b$ موجبين

7. أيّ الكتابات الآتية تستعمل الرمز $\Rightarrow$ استعمالاً صحيحاً؟

• أ)«نطرح المعادلتين $\Rightarrow$ نجمع الحدود المتشابهة»
• ب)«$f$ تابعٌ $\Rightarrow$ مشتقّه»
• ج)«$x=3\Rightarrow x^2=9$»

8. ما مجموعة حلول المعادلة $(x-1)(x^2-1)=0$ في $\mathbb{R}$؟

• أ)$\{-1\}$، لأنّ العاملين ينعدمان معاً عند $x=1$
• ب)$\{-1,1\}$
• ج)$\{1\}$

9. في حالة عددين حقيقيّين $a$ و$b$، ما الذي يكافئ $a^2+b^2=0$؟

• أ)$a=0$ و $b=0$
• ب)$a=0$ أو $b=0$
• ج)$a=-b$

10. القضيّة «يوجد عددٌ طبيعيّ $n$ يحقّق $n^2+n-\mathrm{3<!--\; -->0}=0$». كيف نُثبتها؟

• أ)يكفي عددٌ واحد يحقّقها، مثل $5$
• ب)بالتحقّق عند كلّ عددٍ طبيعيّ
• ج)لا يمكن إثباتها، لأنّ أحد جذري المعادلة سالب

11. تحقّقت أنّ $n^2-n+\mathrm{4<!--\; -->1}$ عددٌ أوّليّ عند $n=1,2,\dots ,\mathrm{1<!--\; -->0}$. ماذا تستنتج من ذلك عن القضيّة «$n^2-n+\mathrm{4<!--\; -->1}$ أوّليٌّ أيّاً كان العدد الطبيعيّ $n$»؟

• أ)هي صحيحة، فعشرة أمثلة تكفي
• ب)حالةٌ حادية عشرة صحيحة تكفي لإثباتها
• ج)لا شيء بعد: الأمثلة لا تُثبت قضيّة شمول

12. ما نفي القضيّة «جميع الأعداد الأوّليّة فرديّة»؟

• أ)جميع الأعداد الأوّليّة زوجيّة
• ب)يوجد عددٌ أوّليّ غير فرديّ
• ج)يوجد عددٌ أوّليّ فرديّ

13. ما نفي القضيّة «المثلّث $ABC$ قائمٌ ومتساوي الساقين»؟

• أ)المثلّث $ABC$ ليس قائماً أو ليس متساوي الساقين
• ب)المثلّث $ABC$ ليس قائماً وليس متساوي الساقين
• ج)المثلّث $ABC$ قائمٌ وليس متساوي الساقين

14. ما نفي القضيّة «يوجد عددٌ طبيعيّ $n$ ينتهي مربّعه، مكتوباً وفق النظام العشريّ، بالرقم $3$»؟

• أ)يوجد عددٌ طبيعيّ لا ينتهي مربّعه بالرقم $3$
• ب)أيّاً كان العدد الطبيعيّ $n$، لا ينتهي مربّعه بالرقم $3$
• ج)لا يوجد عددٌ طبيعيّ ينتهي بالرقم $3$

15. لإثبات «إذا كان $f$ اشتقاقيّاً عند $a$ كان مستمرّاً عند $a$» بنقض الفرض بمعنى دليل المدرّس، ماذا نُثبت؟

• أ)إذا كان $f$ مستمرّاً عند $a$ كان اشتقاقيّاً عنده
• ب)إذا لم يكن $f$ مستمرّاً عند $a$ لم يكن اشتقاقيّاً عنده
• ج)إذا لم يكن $f$ اشتقاقيّاً عند $a$ لم يكن مستمرّاً عنده

16. يكتب كتابك على الصفحة $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->4}$: «لنفكّر بأسلوب نقض الفرض. لنفترض أنّ ...»، ثمّ يصل إلى ما «يناقض تعريف نهاية متتالية». أيّ طريقةٍ هذه؟

• أ)إثبات «$\mathrm{\neg }(Q)\Rightarrow \mathrm{\neg }(P)$» كما في دليل المدرّس
• ب)برهانٌ بالتدريج
• ج)البرهان بالخلف: نفترض العكس فنصل إلى تناقض