الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: دراسة التابع اللّوغاريتمي ln

التابع اللّوغاريتمي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} \ln x$ ؟
- أ)لا توجد، لأنّ التابع يستقرّ عند سقف
- ب) $+ \infty$
- ج) $1$
2. ما قيمة $\lim_{x \to 0, x > 0} \ln x$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج) $- \infty$
3. لأيّ قيم العدد الحقيقيّ $m$ يكون للمعادلة $\ln x = m$ حلّ في $] 0, + \infty [$ ؟
- أ)لكلّ $m$ حقيقيّ، والحلّ وحيد
- ب)للقيم الموجبة من $m$ فقط
- ج)للقيم غير المعدومة من $m$ فقط
4. ما قيمة $\ln ⁣ (e^{3})$ ؟
- أ) $3 e$
- ب) $e$
- ج) $3$
5. ما قيمة $e^{0}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $1$
- ج) $e$
6. حلّ المعادلة $\ln (1 - 2 x) = - 2$ في المجال $] - \infty, \frac{1}{2} [$ .
- أ) $x = \frac{1 - e^{- 2}}{2}$
- ب) $x = \frac{1 + e^{- 2}}{2}$
- ج) $x = \frac{3}{2}$
7. حلّ المعادلة ${(\ln x)}^{2} = 16$ .
- أ) $S = {e^{- 4}, e^{4}}$
- ب) $S = {e^{4}}$
- ج) $S = {4, - 4}$
8. حلّ المتراجحة $\ln (2 - x) \geq 1$ .
- أ) $S =] - \infty, 1]$
- ب) $S =] - \infty, 2 - e]$
- ج) $S = [2 - e, 2 [$
9. ما ميل المماس للخطّ البياني للتابع $\ln$ عند النقطة التي فاصلتها $x_{0}$ ؟
- أ) $\ln (x_{0})$
- ب) $x_{0}$
- ج) $\frac{1}{x_{0}}$
10. ما معادلة المماس للخطّ البياني للتابع $\ln$ في النقطة $B (e, 1)$ ؟
- أ) $y = \frac{x}{e}$
- ب) $y = \frac{x}{e} - 1$
- ج) $y = x - 1$
11. ما المقارب للخطّ البياني للتابع $\ln$ ؟
- أ)محور الفواصل
- ب)لا مقارب له
- ج)محور التراتيب
12. لإثبات أنّ $\ln x < 2 \sqrt{x}$ عند كلّ $x > 0$ ، ما الطريق الذي يسلكه الكتاب؟
- أ)التحقّق من المتراجحة عند عددٍ كافٍ من القيم
- ب)دراسة اطّراد التابع $f (x) = 2 \sqrt{x} - \ln x$ وإيجاد أصغريّته
- ج)رفع الطرفين إلى المربّع للتخلّص من الجذر

سلّم التصحيح

1. ب نعم. يصعد التابع بلا حدّ، وإن كان صعوده بطيئاً: للوصول إلى الارتفاع $M$ يكفي أن نتجاوز الفاصلة $2^{n}$ حيث $n > \frac{M}{\ln 2}$ .
2. ج نعم، ومحور التراتيب مقاربٌ شاقوليّ للخطّ البياني. يُبرهن ذلك بتغيير المتحوّل $u = \frac{1}{x}$ .
3. أ نعم. التابع مستمرٌّ ومتزايدٌ تماماً وصورته $R$ كاملة، فهو تقابل من $] 0, + \infty [$ إلى $R$ .
4. ج نعم، وهذا معنى الرمز نفسه: $e^{3}$ هو العدد الذي لوغاريتمه $3$ .
5. ب نعم، لأنّ $e^{0}$ هو الحلّ الوحيد للمعادلة $\ln x = 0$ ، وهذا الحلّ هو $1$ .
6. أ نعم. بوضع $u = 1 - 2 x$ تصير المعادلة $\ln u = - 2$ وحلّها $u = e^{- 2}$ ، ثمّ نعود إلى $x$ .
7. أ نعم. بوضع $z = \ln x$ تصير $z^{2} = 16$ أي $z = 4$ أو $z = - 4$ ، ثمّ نعود بـ $x = e^{z}$ .
8. ب نعم. نكتب $1 = \ln e$ ، فتكافئ المتراجحة $2 - x \geq e$ أي $x \leq 2 - e$ ، وهذا داخل مجموعة التعريف $x < 2$ .
9. ج نعم، لأنّ $\ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ . ولاحظ أنّ الميل موجبٌ دائماً ويصغر كلّما ابتعدنا يميناً.
10. أ نعم، وهو يمرّ بمبدأ الإحداثيّات. الميل $\frac{1}{e}$ ، والحدّان الباقيان $\ln e - 1 = 0$ .
11. ج نعم، وهو مقاربٌ شاقوليّ يتبع من $\lim_{x \to 0, x > 0} \ln x = - \infty$ . ولا يُرسم عادةً خطّاً منفصلاً لأنّه المحور نفسه.
12. ب نعم. المشتق $\frac{x - 1}{x (\sqrt{x} + 1)}$ ينعدم عند $1$ ، والأصغريّة $f (1) = 2$ موجبة، فالفرق موجبٌ على المجال كلّه.