الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: التّعامد في الفراغ

الجداء السّلّمي في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. كيف يُدخل الكتاب التعامد في الفراغ؟
- أ)بمبرهنةٍ تُبرهَن من الصيغة التحليليّة
- ب)بنتيجةٍ مباشرة لصيغة الزاوية
- ج)تعريفاً: جداءٌ سلّميٌّ معدوم
2. لماذا يشترط الكتاب $\vec{A B} \neq \vec{0}$ و $\vec{C D} \neq \vec{0}$ قبل الانتقال إلى المستقيمات؟
- أ)لأنّ الشعاع المعدوم لا يعيّن مستقيماً
- ب)لأنّ الجداء السّلّمي غير معرَّف عند الشعاع المعدوم
- ج)لأنّ المستقيمين قد يكونان متخالفين
3. متى تصحّ الصيغة $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0$ دليلاً على التعامد؟
- أ)في أيّ معلمٍ في الفراغ
- ب)في معلمٍ متجانس وحده
- ج)متى كانت المركّبات أعداداً صحيحة
4. أيُّ شرطٍ يضعه تعريف 4 على الشعاع الناظم؟
- أ)أن يكون نظيمه يساوي الواحد
- ب)أن يكون غير معدوم
- ج)أن تكون بدايته على المستوي
5. لماذا يضيف الكتاب «بالإضافة إلى النّقطة $A$ ذاتها» في وصف المستوي؟
- أ)لأنّ $A$ نقطةٌ مميّزة لا تشبه بقيّة نقاط المستوي
- ب)لأنّ $\vec{A A} \cdot \vec{n}$ لا يساوي صفراً
- ج)لأنّ المستقيم $(A A)$ غير موجود
6. ما الذي تصفه الجملة $\vec{A M} \cdot \vec{n} = 0$ في آخر الصفحة 45؟
- أ)مجموعة كلّ نقاط المستوي المارّ بـ $A$ والناظم عليه $\vec{n}$
- ب)شرط انتماء $M$ إلى المستقيم $d$
- ج)شرط تعامد المستوي مع مستوٍ آخر
7. القاعدة تقول $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \vec{A B} \cdot \vec{A C^{'}}$ . ما الشرط على المستوي الذي نُسقط عليه؟
- أ)أن يحوي المستقيم $(A B)$
- ب)أن يكون عموديّاً على $(A B)$
- ج)أن يمرّ بالنقطة $A$ وكفى
8. لإثبات أنّ مستقيماً $d$ عموديٌّ على مستوٍ $P$ ، ما الذي يكفي؟
- أ)أن يعامد شعاعُ توجيهه شعاعاً واحداً من $P$
- ب)أن يعامد شعاعُ توجيهه شعاعين من $P$ ، أيّاً كانا
- ج)أن يعامد شعاعُ توجيهه شعاعين مستقلّين خطّيّاً من $P$
9. الناظمان $\vec{n_{1}}$ و $\vec{n_{2}}$ مرتبطان خطّيّاً. ماذا تستنتج؟
- أ)المستويان متوازيان ومختلفان
- ب)المستويان متوازيان أو منطبقان
- ج)المستويان متقاطعان
10. في معلمٍ متجانس: $\vec{u} (\sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2})$ و $\vec{v} (- \sqrt{2}, 1, 1)$ . ما جداؤهما السّلّمي؟
- أ) $- 2$
- ب) $2 \sqrt{2}$
- ج) $0$
11. أوجد $α$ ليتعامد $\vec{u} (2, - \frac{1}{2}, 5)$ و $\vec{v} (- \frac{2}{5}, 3, α)$ في معلمٍ متجانس.
- أ) $α = - \frac{23}{50}$
- ب) $α = \frac{23}{50}$
- ج) $α = \frac{23}{10}$
12. $A (2, - 5, 1)$ و $B (0, 2, 6)$ ، والمستقيم $d$ يمرّ بـ $C (- 2, 3, 1)$ وشعاع توجيهه $\vec{u} (- 4, 1, - 3)$ . أيّ حسابٍ يُثبت أنّ $d$ عموديٌّ على $(A B)$ ؟
- أ) $\vec{A B} \cdot \vec{u} = 8 + 7 - 15 = 0$
- ب) $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 0$
- ج) $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$

سلّم التصحيح

1. ج نعم، تعريف 3 صفحة 45: يتعامد $\vec{u}$ و $\vec{v}$ إذا وفقط إذا كان $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ . لا برهان ولا اشتقاق، بل وضعٌ للكلمة.
2. أ نعم. $\vec{A B} = \vec{0}$ يعني $A = B$ ، ونقطتان منطبقتان لا تعيّنان مستقيماً. فالكلام عن تعامد $(A B)$ يفقد معناه قبل أن يفقد صحّته.
3. ب نعم، وهو شرطٌ مكتوبٌ في تعريف 3 وملوّن. وصفحة 51 تعيده في خانة الأخطاء: لمسائل المسافات والتعامد لا تختر معلماً كيفيّاً.
4. ب نعم، والكتاب يكتبها مرّتين في التعريف الواحد: «الشّعاع غير الصّفريّ» ثمّ $\vec{n} \neq \vec{0}$ . ولو قبلنا المعدوم لتحقّق $\vec{A M} \cdot \vec{0} = 0$ عند كلّ نقطة، فصار الفراغ كلّه مستوياً.
5. ج نعم. الوصف السابق يقول « $(A M)$ عمودي على $d$ »، وعند $M = A$ لا يوجد مستقيم. الاستدراك لازمٌ للصياغة بالمستقيمات، ويسقط تماماً في الصياغة الشعاعيّة.
6. أ نعم، وهي عقدة الدرس: المستوي لم يَعُد معطىً نتكلّم عنه، بل صار مجموعةً نصنعها من شرط. وعلى هذه الجملة يقوم الدرس الرابع كلّه.
7. أ نعم، وهذا نصّ الخلاصة: الإسقاط على المستقيم $(A B)$ نفسه أو على كلّ مستوٍ يحويه. البرهان يحتاج $(A B)$ داخل المستوي ليكون $\vec{A B} \cdot \vec{C^{'} C} = 0$ .
8. ج نعم، والكتاب يكتب «زوج $(\vec{v}, \vec{w})$ من الأشعّة المستقلّة خطّياً». الاستقلال شرطٌ لا يُنسى: شعاعان متوازيان لا يفرشان مستوياً.
9. ب نعم، والحالتان لا تُفرَّقان بالناظمين. للفصل بينهما خذ نقطةً من أحد المستويين وانظر هل تحقّق شرط الآخر.
10. ج نعم: $- 2 + (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 0$ ، فالشعاعان متعامدان. هذا هو البند ❷ من السؤال ① في تَدَرَّبْ صفحة 47.
11. ب نعم: $2 \times (- \frac{2}{5}) + (- \frac{1}{2}) \times 3 + 5 α = - \frac{23}{10} + 5 α = 0$ ، ومنه $α = \frac{23}{50}$ . هذا هو البند ❸ من السؤال ① صفحة 47.
12. أ نعم: $\vec{A B} (- 2, 7, 5)$ ، فالجداء $8 + 7 - 15 = 0$ . والنقطة $C$ لا تدخل الحساب، وظيفتها تثبيت موضع $d$ لا اتّجاهه.