الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: المعادلة الدّيكارتيّة لمستوٍ

الجداء السّلّمي في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. ماذا تقرأ مباشرةً من معاملات $x$ و $y$ و $z$ في معادلة مستوٍ؟
- أ)نقطةً من المستوي
- ب)شعاعاً ناظماً على المستوي
- ج)بُعد المستوي عن المبدأ
2. شرط مبرهنة 5 هو « $a$ و $b$ و $c$ ليست جميعها معدومة». ماذا يعني ذلك بالضبط؟
- أ)كلٌّ منها يجب أن يكون غير معدوم
- ب)يُمنع أن تكون الثلاثة معدومةً في وقتٍ واحد
- ج)يجب أن يكون واحدٌ منها على الأقلّ موجباً
3. هل $z = 2$ معادلة مستوٍ في الفراغ؟
- أ)لا، لأنّ معاملَي $x$ و $y$ معدومان
- ب)لا، إنّها مستقيم
- ج)نعم، وناظمه $\vec{n} (0, 0, 1)$
4. لماذا يحتاج الكتاب إلى الاتّجاه الثاني من مبرهنة 5، وهو أنّ كلّ معادلةٍ من ذلك الشكل تصف مستوياً؟
- أ)لنعرف أنّ معادلةً مكتوبةً أمامنا تمثّل مستوياً فعلاً
- ب)ليحسب البُعد بين مستويين
- ج)ليبرهن أنّ المعادلة وحيدة
5. اكتب معادلة المستوي المارّ بـ $A (0, - 3, 0)$ وناظمه $\vec{n} (\sqrt{3}, 2, 0)$ .
- أ) $\sqrt{3} x + 2 y + 0 z - 3 = 0$
- ب) $\sqrt{3} x + 2 y - 6 = 0$
- ج) $\sqrt{3} x + 2 y + 6 = 0$
6. تريد مستوياً يوازي $P : 5 x - 3 y + 4 z - 8 = 0$ . ما الذي تنقله كما هو؟
- أ)الثابت $- 8$
- ب)المعاملات الثلاثة $5$ و $- 3$ و $4$
- ج)لا شيء، يُبحث عن ناظمٍ جديد
7. احسب بُعد $A (2, 1, 0)$ عن المستوي $x + y + z = 6$ .
- أ) $\frac{9}{\sqrt{3}}$
- ب) $\sqrt{3}$
- ج) $\frac{3}{\sqrt{5}}$
8. ما الذي يقف في مقام صيغة البُعد؟
- أ)نظيم الشعاع الناظم
- ب)بُعد النقطة عن المبدأ
- ج)الثابت $d$
9. لماذا يحمل بسط صيغة البُعد قيمةً مطلقة؟
- أ)لأنّ المقام قد يكون سالباً
- ب)لأنّ الجذر التربيعيّ يحتاج عدداً موجباً تحته
- ج)لأنّ التعويض قد يعطي عدداً سالباً، والبُعد لا يكون سالباً
10. في برهان مبرهنة 6 يظهر $∣ \vec{n} \cdot \vec{A A^{'}} ∣ = ∥ \vec{n} ∥ \times A A^{'}$ . متى تصحّ هذه المساواة؟
- أ)عندما يكون الشعاعان مرتبطين خطّيّاً
- ب)كلّما كان الشعاعان متعامدين
- ج)لأيّ شعاعين في الفراغ
11. $P : 2 x + y + 5 = 0$ و $Q : 4 x + 2 y + z + 5 = 0$ . أهما متقاطعان؟
- أ)نعم، لأنّ $\vec{n_{1}} (2, 1, 0)$ و $\vec{n_{2}} (4, 2, 1)$ غير مرتبطين خطّيّاً
- ب)لا، لأنّ المعاملين الأوّلين متناسبان
- ج)نعم، لأنّهما متعامدان
12. النقطة $A$ تقع على المستوي $P$ . ماذا تعطي صيغة البُعد؟
- أ)قيمةً سالبة
- ب)قيمةً غير معرّفة، لأنّ الحالة ممنوعة
- ج)صفراً، وهو الجواب الصحيح

سلّم التصحيح

1. ب نعم، وهذا نصف قيمة مبرهنة 5: $\vec{n} (a, b, c)$ بلا حساب. من $2 x - y + 3 z - 5 = 0$ تقرأ فوراً $\vec{n} (2, - 1, 3)$ .
2. ب نعم. صفرٌ واحد أو صفران مسموحان، والثلاثة معاً ممنوعة لأنّها تجعل الشعاع الناظم معدوماً وتُخرج المعادلة من كونها معادلة مستوٍ.
3. ج نعم. اكتبها $0 x + 0 y + z - 2 = 0$ : المعاملات ليست جميعها معدومة، فالشرط محقّق. وهو مستوٍ أفقيّ يوازي مستوي $x y$ .
4. أ نعم. من دون الاتّجاه الثاني، إذا رأيت $2 x - y + 3 z - 5 = 0$ فلا تعرف إن كانت مستوياً أم شيئاً آخر. الاتّجاه الأوّل وحده يقول: كلّ مستوٍ له معادلة، ولا يقول العكس.
5. ج نعم: $\sqrt{3} (x - 0) + 2 (y + 3) + 0 = 0$ . اختبرها بـ $A$ : $0 - 6 + 6 = 0$ . هذا هو البند ❹ من السؤال ① في تَدَرَّبْ صفحة 50.
6. ب نعم. المستويان المتوازيان يتشاركان الشعاع الناظم، فالمعاملات تُنقل حرفاً، ويُحسب الثابت وحده من شرط المرور بالنقطة المطلوبة.
7. ب نعم: البسط $∣ 2 + 1 + 0 - 6 ∣ = 3$ والمقام $\sqrt{3}$ ، والناتج $\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ . انقل الطرف الأيمن إلى اليسار قبل أيّ حساب.
8. أ نعم، $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = ∥ \vec{n} ∥$ . ولذلك لا يتغيّر المقام مهما غيّرت النقطة: هو يخصّ المستوي وحده.
9. ج نعم، والبرهان يُظهر ذلك صراحةً: $\vec{n} \cdot \vec{A A^{'}} = - (a α + b β + c γ + d)$ . إشارة التعويض تخبرك في أيّ جهةٍ من المستوي تقع النقطة، والقيمة المطلقة تلغي هذه المعلومة لأنّ البُعد لا يحتاجها.
10. أ نعم، وهنا هما كذلك لأنّ كليهما عمودٌ على $P$ . الكتاب يذكر الارتباط الخطّي ثمّ يكتب المساواة بلا أن يقول إنّها نتيجته، وهذه هي الفجوة التي يملؤها هذا الدرس.
11. أ نعم. لا يوجد عددٌ $k$ يحقّق $\vec{n_{2}} = k \vec{n_{1}}$ ، لأنّ $k = 2$ المأخوذ من المركّبتين الأوليين يعطي $0$ في الثالثة لا $1$ . فالمستويان متقاطعان. هذا هو البند ❷ من السؤال ④ صفحة 50.
12. ج نعم. إحداثيّات $A$ تحقّق المعادلة، فالبسط صفر، والبُعد صفر. مبرهنة 6 لا تشترط أن تكون النقطة خارج المستوي، فلا داعي للتوقّف عن الحساب.