الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: الجداء السلّمي في المستوي، تذكرة

الجداء السلّمي في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. ما نوع الناتج في $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ؟
- أ)شعاعٌ في المستوي
- ب)طولٌ، فهو موجبٌ دائماً
- ج)عددٌ حقيقيّ، قد يكون موجباً أو سالباً أو معدوماً
2. في معلمٍ متجانس، $\vec{u} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$ و $\vec{v} = \frac{1}{2} \vec{i} + 5 \vec{j}$ . ما $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ؟
- أ) $- 14$
- ب) $16$
- ج) $\frac{5}{2}$
3. متى يكون الشعاعان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متعامدين، بحسب مبرهنة وتعريف 1؟
- أ)حين يكون $∥ \vec{u} ∥ = ∥ \vec{v} ∥$
- ب)حين يكون $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
- ج)حين يكون $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$
4. في معلمٍ متجانس، $\vec{u} (4, - 6)$ و $\vec{v} (3, 2)$ . هل الشعاعان متعامدان؟
- أ)لا، لأنّ مركّباتهما غير متناسبة
- ب)نعم، لأنّ $12 - 12 = 0$
- ج)لا يمكن الحكم، فالمعلم قد لا يكون متجانساً
5. ما $\vec{A B} \cdot \vec{A B}$ ؟
- أ) $A B^{2}$
- ب) $A B$
- ج) $2 A B$
6. في الصيغة $\vec{u} \cdot \vec{v} = ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥ \cos θ$ ، ما هي $θ$ ؟
- أ)الزاوية الموجّهة من $\vec{u}$ إلى $\vec{v}$
- ب)زاوية $\vec{u}$ مع المحور الأفقيّ
- ج)قياسٌ للزاوية الهندسيّة بين الشعاعين، بين $0$ و $π$
7. أيّ الصيغ الأربع تبقى صالحةً إذا كان أحد الشعاعين معدوماً؟
- أ)①، ③ و④
- ب)② و④
- ج)لا شيء منها، فالجداء غير معرّف عندئذٍ
8. $\vec{C^{'} D^{'}}$ هو المسقط القائم لـ $\vec{C D}$ على $(A B)$ . ماذا تقول الصيغة ④؟
- أ) $\vec{C D} = \vec{C^{'} D^{'}}$
- ب) $\vec{C D} \cdot \vec{A B} = \vec{C^{'} D^{'}} \cdot \vec{A B}$
- ج) $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = ∥ \vec{C^{'} D^{'}} ∥ \times A B$
9. ما بُعد النقطة $A (- \sqrt{2}, 2)$ عن المستقيم $d : \sqrt{2} x - 3 y - 1 = 0$ ؟
- أ) $\frac{9}{11}$
- ب) $- \frac{9}{\sqrt{11}}$
- ج) $\frac{9}{\sqrt{11}}$
10. أردت حساب بُعد نقطةٍ عن المستقيم $d : y = 3 x + 4$ . ماذا تفعل أوّلاً؟
- أ)أعوّض $a = 3$ و $b = 4$ مباشرةً
- ب)أستعمل صيغةً أخرى، فالمبرهنة لا تنطبق على هذا الشكل
- ج)أكتبها $3 x - y + 4 = 0$ ثمّ أقرأ $a = 3$ و $b = - 1$ و $c = 4$
11. $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مرتبطان خطّياً ومتعاكسا الجهة. ما $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ؟
- أ) $∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥$
- ب) $- ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥$
- ج) $0$
12. كيف تكتب علاقة الكاشي في المثلّث $A B C$ ؟
- أ) $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$
- ب) $a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b c \cos A$
- ج) $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c$

سلّم التصحيح

1. ج نعم. وإشارته وحدها تخبرك بنوع الزاوية: موجبٌ إن كانت حادّة، معدومٌ إن كانت قائمة، سالبٌ إن كانت منفرجة.
2. أ نعم: $2 \times \frac{1}{2} + (- 3) \times 5 = 1 - 15 = - 14$ .
3. ب نعم، وهذا نصّ التعريف. وبالمركّبات في معلمٍ متجانس: $x x^{'} + y y^{'} = 0$ .
4. ب نعم: $4 \times 3 + (- 6) \times 2 = 12 - 12 = 0$ .
5. أ نعم، وهي نتيجة الصيغة ② عند زاويةٍ معدومة: $\cos 0 = 1$ ، فيبقى ${∥ \vec{u} ∥}^{2}$ .
6. ج نعم. ولذلك تشترط الصيغة ② أن يكون الشعاعان غير معدومين: لا زاوية مع شعاعٍ معدوم.
7. أ نعم. الصيغة ① لا تشترط شيئاً، و③ تشترط المعلم المتجانس وحده، و④ تشترط $A \neq B$ لا غير. أمّا ② وحدها فتشترط أن يكون الشعاعان غير معدومين، لأنّها تتكلّم على زاويةٍ بينهما.
8. ب نعم، وهذا ما يجعلها أداةً: تستبدل شعاعاً مجهولاً بمسقطه المعروف على المستقيم، ولا يتغيّر الجداء.
9. ج نعم: البسط $∣ \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 3 (2) - 1 ∣ = ∣ - 9 ∣ = 9$ ، والمقام $\sqrt{2 + 9} = \sqrt{11}$ .
10. ج نعم. نقل كلّ الحدود إلى طرفٍ واحد أوّلاً، ثمّ القراءة. ومعامل $y$ هنا $- 1$ ، وهو ما يُنسى غالباً.
11. ب نعم. وفي الحالتين معاً تبقى المساواة $∣ \vec{u} \cdot \vec{v} ∣ = ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥$ صحيحة.
12. أ نعم. والاختبار السريع: عند $A = 90^{\circ}$ ينعدم $\cos A$ فتعود الصيغة إلى فيثاغورس.