الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: مشتقّات التوابع المألوفة

التوابع: الاشتقاق . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. ما مشتقّ التابع $f (x) = 3 x^{4} - 2 x + 7$ ؟
- أ) $12 x^{3} - 2$
- ب) $12 x^{3} - 2 x$
- ج) $12 x^{4} - 2$
2. ما مشتقّ $u v$ ؟
- أ) $u^{'} v + u v^{'}$
- ب) $u^{'} v^{'}$
- ج) $u^{'} v - u v^{'}$
3. ما مشتقّ $\frac{u}{v}$ حيث لا ينعدم $v$ ؟
- أ) $\frac{u^{'} v + u v^{'}}{v^{2}}$
- ب) $\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$
- ج) $\frac{u^{'}}{v^{'}}$
4. على أيّ مجموعة يكون التابع $x \mapsto \sqrt{x}$ اشتقاقيّاً؟
- أ) $[0, + \infty [$
- ب) $R$
- ج) $] 0, + \infty [$
5. التابع $u$ غير اشتقاقيٍّ عند النقطة $a$ . ماذا تقول المبرهنة 1 عن $u v$ عند $a$ ؟
- أ)إنّها تنفي اشتقاقه عند $a$
- ب)إنّها لا تحكم عليه بشيء
- ج)إنّها تثبت اشتقاقه عند $a$
6. التابع $f (x) = x \sqrt{x}$ معرّف على $[0, + \infty [$ . ما $f^{'} (0)$ ؟
- أ)غير موجود، لأنّ الجذر غير اشتقاقيٍّ عند الصفر
- ب) $0$
- ج) $\frac{3}{2}$
7. ما مجموعة اشتقاق التابع $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$ ؟
- أ) $R ∖ {- 3, 3}$
- ب) $R ∖ {- 1}$
- ج) $R$
8. ما مشتقّ $f (x) = x^{2} \cos x$ ؟
- أ) $2 x \times (- \sin x)$
- ب) $2 x \cos x + x^{2} \sin x$
- ج) $2 x \cos x - x^{2} \sin x$
9. ما مشتقّ $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ ؟
- أ) $\frac{3}{x^{4}}$
- ب) $- \frac{1}{3 x^{2}}$
- ج) $- \frac{3}{x^{4}}$
10. التوابع كثيرات الحدود اشتقاقيّة على أيّ مجموعة؟
- أ)على $R$ دائماً
- ب)على مجموعة تعريفها، وهي تختلف من واحدٍ إلى آخر
- ج)على $] 0, + \infty [$
11. في المثال المحلول على الصفحة $71$ يسير الكتاب في كلّ قسمٍ على ثلاث خطوات مرتّبة. ما هي؟
- أ)المشتق، ثمّ مجموعة تعريفه، ثمّ الرسم
- ب)مجموعة التعريف، ثمّ مجموعة الاشتقاق، ثمّ المشتق
- ج)مجموعة التعريف، ثمّ المشتق، ثمّ التحقّق
12. ما مشتقّ $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ ؟
- أ) $\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$
- ب) $\frac{1}{2 x}$
- ج) $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

سلّم التصحيح

1. أ نعم. كلّ حدٍّ على حدته: $3 x^{4}$ يعطي $12 x^{3}$ ، و $- 2 x$ يعطي $- 2$ ، والثابت $7$ يعطي صفراً.
2. أ نعم، حدّان. اشتقّ الأوّل واترك الثاني، ثمّ اعكس، ثمّ اجمع.
3. ب نعم، والترتيب مهمّ: البسط يبدأ بمشتقّ البسط مضروباً بالمقام.
4. ج نعم، مجالٌ مفتوح عند الصفر، لأنّ ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ والمقام ينعدم عند الصفر.
5. ب نعم، وهذا بيت القصيد. المبرهنة صامتة، والحكم يحتاج دراسةً بالتعريف.
6. ب نعم. الكسر $\frac{f (h) - f (0)}{h}$ يساوي $\sqrt{h}$ ، ونهايته عند الصفر هي الصفر.
7. أ نعم. $x^{2} - 9$ ينعدم عند $3$ و $- 3$ ، والتابع الكسري اشتقاقيٌّ على مجموعة تعريفه.
8. ج نعم، بقاعدة الجداء مع ${(\cos x)}^{'} = - \sin x$ .
9. ج نعم، بالسطر ${(\frac{1}{x^{n}})}^{'} = - \frac{n}{x^{n + 1}}$ مع $n = 3$ .
10. أ نعم، وهذه جملةٌ تختصر أسئلة كثيرة بلا حساب.
11. ب نعم، وهذا الترتيب مقصود. المجموعة تُحدَّد قبل الحساب، لأنّ صيغةً بلا مجموعةٍ لا معنى لها.
12. ج نعم، بالصيغة ${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}}$ مع $v = x^{2} + 1$ .