الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: تطبيقات الاشتقاق

التوابع: الاشتقاق . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. التابع $f$ اشتقاقيٌّ على مجالٍ $I$ و $f^{'} (x) > 0$ على $I$ . ماذا نستنتج؟
- أ) $f$ متزايدٌ تماماً على $I$
- ب) $f$ متناقصٌ تماماً على $I$
- ج) $f$ ثابتٌ على $I$
2. لماذا لا تسري المبرهنة 2 على التابع المعرّف بـ $f (x) = - 1$ عندما $x < 0$ و $f (x) = 1$ عندما $0 < x$ رغم أنّ مشتقّه معدوم؟
- أ)لأنّ $R^{*}$ ليس مجالاً بل اجتماع مجالين
- ب)لأنّ التابع غير مستمرّ
- ج)لأنّ المشتق غير معرّف عند الصفر
3. متى تكون $f (c)$ قيمةً كبرى محلّياً؟
- أ)إذا كانت $f (c)$ أكبر قيمة يبلغها التابع على مجموعة تعريفه
- ب)إذا وُجد مجالٌ مفتوح $J$ يضمّ $c$ بحيث $f (x) \leq f (c)$ لكلّ $x$ من $J \cap I$
- ج)إذا كان $f^{'} (c) = 0$
4. التابع $f (x) = x^{3}$ يحقّق $f^{'} (0) = 0$ . لماذا ليست $f (0)$ قيمةً حدّيّة؟
- أ)لأنّ $f$ غير اشتقاقيٍّ عند الصفر
- ب)لأنّ الصفر ليس في مجموعة التعريف
- ج)لأنّ $f^{'}$ لا يغيّر إشارته عند الصفر
5. التابع $g$ اشتقاقيٌّ على مجالٍ مفتوح، و $g (4)$ قيمةٌ صغرى محلّياً. ماذا يلزم عن $g^{'} (4)$ ؟
- أ) $g^{'} (4) < 0$
- ب) $g^{'} (4) = 0$
- ج)لا شيء، فقد لا يكون المشتق معرّفاً
6. ما الشرط العمليّ الذي يُثبت أنّ $f (a)$ و $f (b)$ من إشارتين مختلفتين؟
- أ) $f (a) + f (b) = 0$
- ب) $f (a) \times f (b) < 0$
- ج) $f (a) < f (b)$
7. تابعٌ مستمرٌّ ومتزايدٌ تماماً على $[0, 3]$ مع $f (0) = - 1$ و $f (3) = 4$ . كم حلّاً للمعادلة $f (x) = 2$ ؟
- أ)حلٌّ وحيد
- ب)لا حلّ
- ج)حلّان
8. في جدول التغيّرات، ماذا يجب أن يوافق السهم؟
- أ)قيمة التابع عند الطرف
- ب)طول المجال الجزئي
- ج)إشارة المشتق على المجال الجزئي
9. ما مجموعة تعريف التابع $\tan$ ؟
- أ) $R$
- ب) $R ∖ {k π : k \in Z}$
- ج) $R ∖ {\frac{π}{2} + k π : k \in Z}$
10. المستقيم $x = \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى الخطّ البياني للتابع $\tan$ هو:
- أ)مقاربٌ شاقوليّ
- ب)مماسٌ شاقوليّ
- ج)مقاربٌ أفقي
11. لماذا لا نقول إنّ $\tan$ متزايدٌ تماماً على مجموعة تعريفه؟
- أ)لأنّه متناقصٌ على بعض المجالات
- ب)لأنّ مجموعة تعريفه اجتماع مجالات لا مجالٌ واحد
- ج)لأنّ مشتقّه ينعدم عند بعض النقاط
12. التابع $f (x) = x^{3} - 3 x + 5$ . أين تنعدم قيم مشتقّه؟
- أ)عند $0$ و $3$
- ب)عند $- \sqrt{3}$ و $\sqrt{3}$
- ج)عند $- 1$ و $1$

سلّم التصحيح

1. أ نعم، هذا البند الأوّل من المبرهنة 2.
2. أ نعم. شرط « $I$ مجال» جوهريّ، والمبرهنة لا تسري على اجتماع مجالات.
3. ب نعم، هذا نصّ التعريف 3 حرفياً.
4. ج نعم. $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ موجبٌ على الجانبين، فلا قمّة ولا قاع رغم المماس الأفقي.
5. ب نعم، هذا البند الأوّل من المبرهنة 3، وهو اتّجاهٌ لازمٌ دائماً في مجالٍ مفتوح.
6. ب نعم، وهذه هي الصيغة التي يكتبها المصحّح في السلّم.
7. أ نعم. العدد $2$ بين $f (0)$ و $f (3)$ ، والاطراد التامّ يعطي الوحدانيّة.
8. ج نعم، وهذه قاعدة امتحانيّة صريحة: «توافق الإشارة مع الأسهم»، وخرقها يكلّف ثلاث درجات.
9. ج نعم، لأنّ $\cos x$ ينعدم عند هذه القيم وحدها.
10. أ نعم، لأنّ النهاية عند الاقتراب من $\frac{π}{2}$ بقيمٍ أصغر هي $+ \infty$ .
11. ب نعم، والاطراد يُقال على كلّ مجالٍ منها على حدة. الفرع التالي يبدأ من $- \infty$ من جديد، ولذلك تعود القيم نفسها: $\tan (x + π) = \tan x$ .
12. ج نعم. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ ، فينعدم عند $\pm 1$ .