الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: اشتقاق تابع مركّب

التوابع: الاشتقاق . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. ما مشتقّ التركيب $g \circ u$ ؟
- أ) $g^{'} (u (x)) \times u^{'} (x)$
- ب) $g^{'} (u (x))$
- ج) $g^{'} (x) \times u^{'} (x)$
2. ما مشتقّ $f (x) = {(2 x^{3} - 1)}^{5}$ ؟
- أ) $30 x^{2} {(2 x^{3} - 1)}^{4}$
- ب) $5 {(2 x^{3} - 1)}^{4}$
- ج) $5 {(6 x^{2})}^{4}$
3. التابع $u$ اشتقاقيٌّ وموجبٌ تماماً على $I$ . ما مشتقّ $\sqrt{u (x)}$ ؟
- أ) $\frac{u^{'} (x)}{\sqrt{u (x)}}$
- ب) $\frac{u^{'} (x)}{2 \sqrt{u (x)}}$
- ج) $\frac{1}{2 \sqrt{u (x)}}$
4. لماذا يكون $\sqrt{x^{2} + 2 x + 3}$ معرّفاً واشتقاقيّاً على $R$ كلّها؟
- أ)لأنّ كلّ جذرٍ معرّف على $R$
- ب)لأنّ $x^{2}$ موجب دائماً
- ج)لأنّ مميّز $x^{2} + 2 x + 3$ سالب، فالمقدار موجبٌ تماماً
5. ما مشتقّ $f (x) = {(u (x))}^{- 3}$ حيث لا ينعدم $u$ ؟
- أ) $- 3 {(u (x))}^{- 4}$
- ب) $- 3 {(u (x))}^{- 4} \times u^{'} (x)$
- ج) $- 3 {(u (x))}^{- 2} \times u^{'} (x)$
6. التابع $f (x) = \sqrt{u (x)}$ و $u (x_{0}) = 0$ . هل $f$ اشتقاقيٌّ عند $x_{0}$ ؟
- أ)لا، أبداً
- ب)قد يكون وقد لا يكون، والحسم بحساب النهاية
- ج)نعم، دائماً
7. لماذا يكون $\sqrt{{(x - 1)}^{4}}$ اشتقاقيّاً عند $1$ ؟
- أ)لأنّ الجذر والقوّة يختصران فيبقى ${(x - 1)}^{2}$
- ب)لأنّ ما تحت الجذر موجبٌ تماماً
- ج)لأنّ النتيجة 6 تنطبق عليه
8. ما مشتقّ $f (x) = \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ؟
- أ) $\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$
- ب) $2 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$
- ج) $\frac{1}{2} \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$
9. في المبرهنة 5، ما الشرط الذي يربط $u$ بـ $J$ ؟
- أ)أن يكون $u$ اشتقاقيّاً على $J$
- ب)أن يكون $J$ محتوى في $I$
- ج)أن تنتمي $u (x)$ إلى $J$ أيّاً كانت $x$ من $I$
10. التابع $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ . ما $f^{'} (\frac{1}{2})$ ؟
- أ) $- \frac{1}{\sqrt{3}}$
- ب) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- ج) $- \frac{1}{2}$
11. لماذا يكون المماس لربع الدائرة عند $A$ عموديّاً على $(O A)$ ؟
- أ)لأنّ الميلين متساويان
- ب)لأنّ جداء ميلَيهما يساوي $- 1$
- ج)لأنّ المماس يمرّ بالمبدأ $O$
12. في أيّ نقطةٍ من $[0, 1]$ لا يكون $\sqrt{1 - x^{2}}$ اشتقاقيّاً؟
- أ)عند $0$
- ب)عند $\frac{1}{2}$
- ج)عند $1$

سلّم التصحيح

1. أ نعم: اشتقّ الخارجيّ واترك الداخليّ في مكانه، ثمّ اضرب بمشتق الداخليّ.
2. أ نعم: $5 {(2 x^{3} - 1)}^{4} \times 6 x^{2}$ .
3. ب نعم، وهي حالةٌ خاصّة من المبرهنة 5 مع $g (x) = \sqrt{x}$ .
4. ج نعم، $Δ = - 8$ ، فثلاثيّ الحدود لا ينعدم ولا يصير سالباً.
5. ب نعم، بالنتيجة 7 مع $n = - 3$ .
6. ب نعم، والكتاب يضع المثالين متجاورين: $\sqrt{x - 1}$ ليس اشتقاقيّاً عند $1$ ، و $\sqrt{(x - 1)^{4}}$ اشتقاقيٌّ عندها.
7. أ نعم، وهو كثير حدود اشتقاقيٌّ على $R$ كلّها.
8. ج نعم، وهي الحالة الخطّيّة $g (a x + b)$ بمشتقٍّ $a g^{'} (a x + b)$ .
9. ج نعم، وإلّا فلا معنى للتركيب أصلاً، لأنّ $g$ لا يقبل مدخلاً خارج $J$ .
10. أ نعم: $f^{'} (x) = \frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ، وعند $\frac{1}{2}$ يصير المقام $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
11. ب نعم: $\sqrt{3} \times \frac{- 1}{\sqrt{3}} = - 1$ ، وهو معيار التعامد. وهذا يوافق الخاصّة المعروفة: المماس للدائرة عموديٌّ على نصف القطر في نقطة التماس.
12. ج نعم. وما تحت الجذر لا ينعدم هناك فحسب، بل ينعدم انعداماً بسيطاً، إذ $u^{'} (1) = - 2 \neq 0$ ، وهذا هو ما يحسم. المماس شاقوليّ.