ورقة تمارين: العدد المشتق والتابع المشتق

1. ما تعريف العدد المشتق للتابع $f$ عند النقطة $a$؟

• أ)نهاية الكسر ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ عندما تسعى $h$ إلى الصفر
• ب)قيمة التابع $f$ عند $a$
• ج)ميل المستقيم الواصل بين $(a,f(a))$ و $(a+1,f(a+1))$

2. التابع $f$ معرّف وفق $f(x)=x^2$. ما $f^{\mathrm{\prime }}(3)$؟

• أ)$9$
• ب)$3$
• ج)$6$

3. متى نقول إنّ التابع $f$ اشتقاقيٌّ على المجال $I$؟

• أ)إذا كان معرّفاً عند كلّ نقطة من $I$
• ب)إذا كان اشتقاقياً عند كلّ نقطة من $I$
• ج)إذا كان اشتقاقياً عند نقطةٍ واحدة على الأقلّ من $I$

4. تابعٌ اشتقاقيٌّ يحقّق $f(1)=4$ و $f^{\mathrm{\prime }}(1)=3$. ما معادلة المماس عند $a=1$؟

• أ)$y=4(x-1)+3$
• ب)$y=3(x-1)+4$
• ج)$y=3x+4$

5. التابع $f$ اشتقاقيٌّ عند $a$ و $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$. ماذا يعني ذلك عن المماس عند $a$؟

• أ)لا يوجد مماس عند $a$
• ب)المماس شاقولي
• ج)المماس أفقي ومعادلته $y=f(a)$

6. استعمل التقريب التآلفي المحلي عند $a=0$ للتابع $x\mapsto \sin x$. ما القيمة التقريبيّة لـ $\sin (\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2})$؟

• أ)$\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2}$
• ب)$\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->2}$
• ج)$0$

7. أيّ الكتابات الآتية تعبّر عن التقريب التآلفي المحلي على صورة مساواةٍ تامّة؟

• أ)$f(a+h)=f(a)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$
• ب)$f(a+h)=f(a)+\epsilon (h)$
• ج)$f(a+h)=f(a)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(a)+h\epsilon (h)$ مع ${\lim }_{h\to 0}\epsilon (h)=0$

8. التابع $f$ معرّف وفق $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ حيث $x\mathrm{\ne }0$. ما مجموعة تعريف $f^{\mathrm{\prime }}$؟

• أ)$\mathbb{R}$
• ب)$]0,+\mathrm{\infty }[$
• ج)$]-\mathrm{\infty },0[\cup ]0,+\mathrm{\infty }[$

9. ما العلاقة بين الصيغتين ${\lim }_{h\to 0}{\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ و ${\lim }_{x\to a}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$؟

• أ)متكافئتان، والانتقال بينهما بالتعويض $x=a+h$
• ب)الأولى تعطي الميل والثانية تعطي القيمة
• ج)الأولى للتوابع الكسريّة والثانية لغيرها

10. التابع $g$ اشتقاقيٌّ عند $2$ و $g^{\mathrm{\prime }}(2)<0$. ما الذي يصحّ عن المماس عند $2$؟

• أ)المماس صاعد
• ب)المماس هابط
• ج)المماس يوازي محور التراتيب

11. المماس للقطع المكافئ $y=x^2$ عند النقطة التي فاصلتها $1$ يوازي المستقيم المارّ بنقطتين منه فاصلتاهما $u$ و $v$. ما العلاقة بين $u$ و $v$؟

• أ)$u+v=2$
• ب)$u\times v=1$
• ج)$u=v=1$

12. لماذا يوصف التقريب $f(a+h)\approx f(a)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$ بأنّه محلي؟

• أ)لأنّه يصلح للتوابع المعرّفة على مجالٍ واحد فقط
• ب)لأنّه مضمونٌ في جوار $a$ وحدها، ولا ضمان له بعيداً عنها
• ج)لأنّه لا يصلح إلّا عند $a$ نفسها، أي عند $h=0$