ورقة تمارين: المتحوّلات العشوائيّة الحدّانيّة

سلّم التصحيح

1. 1. ج نعم، وهذا هو الجديد في التعريف: الاختبار البرنوليّ لا يُعرَّف بأن يكون للتجربة ناتجان، بل بأن نضيّق اهتمامنا إلى حدثٍ واحد. والكتاب يضع كلمة «فقط» بالأزرق وتحتها خطّ لهذا السبب.
2. 2. أ نعم، ولهذا يُكتب الرمز $\mathcal{B}(n,p)$ بوسيطين. و$q$ ليس ثالثاً بل اختصارٌ لـ$1-p$، والكتاب يقولها صراحةً في صفحة 170: «إذن $q=1-p$».
3. 3. ج نعم. $\mathrm{1<!--\; -->0}\times \frac{1}{9}\times \frac{8}{\mathrm{2<!--\; -->7}}=\frac{\mathrm{8<!--\; -->0}}{\mathrm{2<!--\; -->4<!--\; -->3}}$. وتحقّق سريع: مجموع الأُسّين $2+3=5=n$، وأُسّ $p$ يساوي العدد الأسفل في المعامل.
4. 4. أ نعم. النجاح حدثٌ لا نتيجة، ووجهان من ستّة يحقّقانه، فـ$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. والكتاب يكتب هذه الخطوة صراحةً في مثاله صفحة 173، لأنّها الموضع الذي يسقط فيه أكثر الحلول.
5. 5. ب نعم. الكتاب يذكر في أمثلته المرجعيّة «السحب المتتالي مع الإعادة»، والإعادة هي الفيصل: بها يعود الصندوق إلى حاله فتبقى السحبات مستقلّةً وباحتمال نجاحٍ ثابت. دونها يتغيّر احتمال النجاح في السحبة التالية مشروطاً بما ظهر قبلها، فيسقط شرط الاستقلال.
6. 6. ب نعم، والكتاب يكتبه بهذه الصفة: «إذ نقبل أنّه». فأنت تقبل نموذجاً لا تستنتج نتيجة. والاختبار البرنوليّ في هذه الحالة هو إلقاء قطعةٍ واحدة، و$n$ عدد القطع لا عدد الرميات.
7. 7. ب نعم، $np=\mathrm{5<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->4}=\mathrm{2<!--\; -->0}$. ولاحظ بساطة الصيغة: لا مجموع ولا معامل. وهذا ربح القانون الحدّاني، إذ لا تحتاج إلى جدول القانون لتحسب التوقّع.
8. 8. أ نعم، $np(1-p)=\mathrm{2<!--\; -->0}\times \mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}=\mathrm{1<!--\; -->2}$. ولاحظ الرقابة المجّانيّة: التباين يساوي التوقّع مضروباً بـ$1-p$، و$1-p$ لا يتجاوز الواحد، فالتباين لا يتجاوز التوقّع، وهو أصغر منه كلّما كان $p$ موجباً تماماً.
9. 9. أ نعم. مجموعة القيم $\{0,1,\dots ,7\}$، والصفر منها: أن يخفق المرء في كلّ المحاولات حالةٌ ممكنة. ولهذا في حساب المتمّمة يكون $\mathbb{P}(X=0)$ حدّاً حقيقيّاً لا صفراً.
10. 10. ج نعم، حدّان بدل خمسة. ومتمّمة «مرّتين على الأقلّ» هي «صفر أو مرّة واحدة»، والحدثان متنافيان فيُجمعان. والقاعدة العامّة: عُدَّ الحدود في الطريقين قبل أن تمسك القلم.
11. 11. ب نعم، وهو جداءٌ على المسار: نجاحٌ ثمّ إخفاقٌ ثمّ نجاح. ولاحظ أنّ الترتيب لا يغيّر الجداء، ولذلك يكون لـ$SS{S}^{\mathrm{\prime }}$ و$S{S}^{\mathrm{\prime }}S$ و$S^{\mathrm{\prime }}SS$ الاحتمال نفسه. هذه هي الملاحظة التي يقوم عليها المعامل.
12. 12. ج نعم. $n$ عدد الاختبارات و$k$ عدد النجاحات، و$k$ لا يتجاوز $n$ أبداً. والكتاب يكتب هذه الزوجيّة تحت كلّ رقم في أمثلته، مثل «هنا $n=5$ و$k=3$»، لأنّها موضع خلطٍ متكرّر.