ورقة تمارين: المتحوّلات العشوائيّة

سلّم التصحيح

1. 1. ب نعم، وهذا مضمون تعريف 3. مدخله ناتجٌ من التجربة ومخرجه عدد، فهو آلةُ ربطٍ لا مجهول. ولهذا يجوز أن تعطي نتيجتان مختلفتان العدد نفسه، كما في $HHT$ و$HTH$.
2. 2. ج نعم. في مثال القطع الثلاث $(X=3)=\{TTT\}$، مجموعةٌ فيها عنصرٌ واحد. ومن هنا يأتي الطريق الوحيد للحساب: اكتب المجموعة أوّلاً، ثمّ احسب احتمالها.
3. 3. ب نعم. $(X=5)=\{b_1,b_3,b_4\}$، ثلاثة عناصرَ من أربعة. والخطوة الأولى دائماً كتابة المجموعة، لا تخمين الكسر.
4. 4. ب نعم، $I=\{0,4,9\}$. والاحتمالات $\frac{3}{7}$ و$\frac{3}{7}$ و$\frac{1}{7}$ إن كانت النتائج متساوية الاحتمال، ومجموعها واحد. ولاحظ أنّ كلّ قيمةٍ ترد في الجدول مرّةً واحدةً بالضبط.
5. 5. أ نعم، $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{\mathrm{4<!--\; -->7}}{\mathrm{6<!--\; -->0}}$، وينقص $\frac{\mathrm{1<!--\; -->3}}{\mathrm{6<!--\; -->0}}$. إمّا أنّ قيمةً سقطت من الجدول وإمّا أنّ احتمالاً حُسب خطأً. وهذه أرخص رقابةٍ في الدرس: سطرٌ واحدٌ يمنع بناء كلّ ما بعده على أساسٍ ناقص.
6. 6. ج نعم. تساوي الاحتمال ليس صفةً للأعداد بل شرطٌ في المسألة، ويُعرف من كلماتٍ مثل «متوازن» أو «مثاليّ» أو «متماثلة» أو «عشوائيّاً». بدونها يبقى القانون الاحتمالي مجهولاً، ولا توقّع ولا تباين.
7. 7. ج نعم. $\mathbb{E}(X)=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$، ثمّ $7-\frac{\mathrm{2<!--\; -->5}}{4}=\frac{3}{4}$. وبالتعريف: $(1-\frac{5}{2}{)}^2\frac{1}{4}+(3-\frac{5}{2}{)}^2\frac{3}{4}=\frac{9}{\mathrm{1<!--\; -->6}}+\frac{3}{\mathrm{1<!--\; -->6}}=\frac{3}{4}$، والطريقان متّفقان.
8. 8. أ نعم، وهذا ما يقوله الكتاب بالضبط. التوقّع كائنٌ رياضيّ لا وعدٌ بربحٍ في لعبة، وكلمة «عدداً كبيراً من المرّات» هي شرط الجملة لا زينتها.
9. 9. ج نعم. القانون $\frac{3}{\mathrm{1<!--\; -->0}}$ و$\frac{6}{\mathrm{1<!--\; -->0}}$ و$\frac{1}{\mathrm{1<!--\; -->0}}$ من $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)$ و$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{1}\right)$ و$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{2}\right)$ على $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)$، ومجموعها واحد. ثمّ $0+\frac{6}{\mathrm{1<!--\; -->0}}+\frac{2}{\mathrm{1<!--\; -->0}}=\frac{8}{\mathrm{1<!--\; -->0}}=\frac{4}{5}$. وهذه ثاني تمارين الكتاب صفحة 165.
10. 10. أ نعم. من $\sigma (X)=\sqrt{\mathbb{V}(X)}$ يأتي $\mathbb{V}(X)=(\sigma (X){)}^2=\mathrm{2<!--\; -->5}$. والاتّجاه يُحفظ بالوحدات: إن كانت القيم ليراتٍ فـ$\sigma$ بالليرات و$\mathbb{V}$ بالليرات المربّعة. ولا تستنتج من ذلك أنّ التباين أكبر دائماً: إن كان $\sigma$ أصغر من واحدٍ كان مربّعه أصغر منه، كما في السؤال الأخير من هذه المجموعة.
11. 11. أ نعم. القيم من $2$ إلى $\mathrm{1<!--\; -->2}$ على ستٍّ وثلاثين نتيجة، والقانون متناظرٌ حول $7$ لأنّ $2$ و$\mathrm{1<!--\; -->2}$ لهما الاحتمال نفسه، وكذلك $3$ و$\mathrm{1<!--\; -->1}$، وهكذا. فالتوقّع هو مركز التناظر.
12. 12. ب نعم. بالخاصّة $\sum x_i^2{p}_i^{\mathrm{\prime }}=0+\frac{6}{\mathrm{1<!--\; -->0}}+\frac{4}{\mathrm{1<!--\; -->0}}=1$، ثمّ $\mathbb{V}(X)=1-\frac{\mathrm{1<!--\; -->6}}{\mathrm{2<!--\; -->5}}=\frac{9}{\mathrm{2<!--\; -->5}}$، ثمّ $\sigma (X)=\frac{3}{5}$. ولاحظ المعقوليّة: $\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->6}$ مقابل قيمٍ تتراوح بين $0$ و$2$.