الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: المسافة في الفراغ

الأشعّة في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. في معلمٍ ليس متجانساً، مركّبات $\vec{u}$ هي $(1, 2, 2)$ . أنظيمه يساوي $3$ ؟
- أ)نعم، لأنّ $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$
- ب)نعم، فالمركّبات لا تتعلّق بنوع المعلم
- ج)لا يمكن حسابه بهذه الصيغة، فهي مشروطة بمعلمٍ متجانس
2. أيُّ شرطٍ يكفي وحده ليكون المعلم $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ متجانساً؟
- أ)لا شيء منهما وحده، فالتعريف يشترط الاثنين معاً
- ب)أن تكون المستقيمات الثلاثة متعامدة مثنى
- ج)أن يكون نظيم كلٍّ من الأشعّة الثلاثة مساوياً $1$
3. ما الذي يميّز $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ عن $(O; \vec{i}, \vec{j})$ عن $(O; \vec{k})$ ؟
- أ)ترتيب الحروف داخل القوس
- ب)الفاصلة المنقوطة، فهي تفصل بين المركّبات
- ج)عدد الأشعّة داخل القوس: ثلاثةٌ معلم، واثنان مستوٍ، وواحدٌ مستقيم
4. لحساب $A B$ بين $A (4, - 1, 3)$ و $B (2, 3, - 2)$ : ما المركّبة الثالثة، وما مربّعها؟
- أ) $- 5$ ومربّعها $25$
- ب) $- 5$ ومربّعها $- 25$
- ج) $5$ ومربّعها $25$
5. في معلمٍ متجانس، ما نظيم $\vec{u} (2, - 2, 3)$ ؟
- أ) $3$
- ب) $\sqrt{17}$
- ج) $7$
6. ما مركّبات $\vec{v} = \vec{i} + 5 \vec{k}$ في الفراغ؟
- أ) $(1, 5)$
- ب) $(1, 0, 5)$
- ج) $(1, 5, 0)$
7. حسبتَ $B C^{2} = 32$ . ما $B C$ في الصورة التي ينتظرها المصحّح؟
- أ) $\sqrt{32}$
- ب) $4 \sqrt{2}$
- ج) $2 \sqrt{8}$
8. في المثال المحلول $A D^{2} = \frac{123}{9}$ . ما $A D$ ؟
- أ) $\frac{\sqrt{123}}{3}$
- ب) $\sqrt{41}$
- ج) $\frac{123}{3}$
9. سُئلتَ «احسب $A B$ » فكتبتَ $A B^{2} = 32$ وتوقّفت. أيجوز؟
- أ)لا، فالمطلوب $A B$ لا $A B^{2}$ ، وأخذ الجذر خطوةٌ لازمة
- ب)نعم، فالمربّع يحدّد الطول تحديداً تامّاً
- ج)لا، ويجب قسمة $32$ على $2$
10. في المثلّث $A B D$ حيث $A B = 4 \sqrt{2}$ و $A D = B D = \frac{\sqrt{123}}{3}$ ، لماذا يكفي اختبار الزاوية عند $D$ وحدها؟
- أ)لأنّ الاختبار عند $A$ أو $B$ يعطي النتيجة نفسها، فأيّ رأسٍ يصلح
- ب)لأنّ $D$ هو الرأس الوحيد الواقع خارج المستوي $A B C$
- ج)لأنّ $A B$ أطول الأضلاع، والزاوية القائمة تقابل أطول ضلعٍ دائماً
11. كرةٌ مركزها $Ω (2, - 1, 0)$ ونصف قطرها $4$ . ما معادلتها؟
- أ) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16$
- ب) ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 16$
- ج) ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 4$
12. $A$ و $B$ نقطتان متمايزتان في الفراغ. ما مجموعة النّقاط $M$ التي تحقّق $M A = M B$ ؟
- أ)مستقيم، هو محور القطعة $[A B]$
- ب)نقطةٌ واحدة، هي منتصف $[A B]$
- ج)مستوٍ كامل، هو المستوي المحوري للقطعة $[A B]$

سلّم التصحيح

1. ج نعم. صدر مبرهنة 6 يقول «في معلمٍ متجانس»، وهي ثلاث كلماتٍ يضعها الكتاب بخطٍّ غليظٍ أزرق. خارج هذا الشرط تكون الصيغة خاطئة لا ناقصة، لأنّ الطول يتعلّق عندئذ بزوايا الأساس وأطواله أيضاً.
2. أ نعم، والكتاب يكتبها صراحةً بصيغة المثنّى: «الشّرطان». التعامد من دون طول الوحدة، أو طول الوحدة من دون التعامد، لا يكفي أيٌّ منهما.
3. ج نعم، ولا شيء غيره. الرموز الثلاثة تظهر في البرهان نفسه على الصفحة نفسها، ويُضاف إليها $(N M)$ وهو مستقيمٌ بنقطتين. العلامة واحدة والمعاني أربعة.
4. أ نعم: $z_{B} - z_{A} = - 2 - 3 = - 5$ ، والقوس يضمّ الإشارة فيكون $(- 5)^{2} = 25$ . ومجموع المربّعات $4 + 16 + 25 = 45$ ، أي $A B = 3 \sqrt{5}$ .
5. ب نعم: $4 + 4 + 9 = 17$ ، و $17$ عددٌ أوّليّ فلا يخرج من الجذر شيء. الجواب يبقى $\sqrt{17}$ .
6. ب نعم. المركّبة الثانية معدومة لأنّ $\vec{j}$ غائبٌ عن الكتابة، ومعدومٌ لا يعني غير موجود. والنظيم عندئذ $\sqrt{1 + 0 + 25} = \sqrt{26}$ .
7. ب نعم: $32 = 16 \times 2$ فيخرج $4$ . الكتاب يفعل ذلك ثلاث مرّاتٍ في المثال المحلول، وهي الصورة المختصرة.
8. أ نعم. المقام $9$ مربّعٌ كامل فيخرج منه $3$ ، والبسط $123 = 3 \times 41$ ليس فيه مربّع فيبقى. ولهذا يُبقي الكتاب الكسر على $9$ ولا يختصره.
9. أ نعم. المربّع يحدّد الطول تحديداً تامّاً، لكنّه ليس الطول: $32$ ليس طولاً و $4 \sqrt{2}$ طول. والكتاب يكتب في كلّ سطر $A B^{2} = 32$ ثمّ «أي» ثمّ $A B = 4 \sqrt{2}$ .
10. ج نعم، وهذا ما يجعل سطراً واحداً كافياً: $D A^{2} + D B^{2} = \frac{82}{3} \neq 32 = A B^{2}$ . الكتاب يكتفي بهذا السطر ولا يشرح لماذا.
11. ب نعم. الشرط $Ω M = 4$ يُربَّع فيصير $Ω M^{2} = 16$ ، ومركّبات $\vec{Ω M}$ هي الفروق عن إحداثيّات $Ω$ .
12. ج نعم. في المستوي كان هذا المحلّ مستقيماً، وفي الفراغ يصير مستوياً، والاسم نفسه يقوله. وفي الاختبار نقارن $M A^{2}$ بـ $M B^{2}$ ولا نُجذّر.