الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: مركز الأبعاد المتناسبة في الفراغ

الأشعّة في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. أيّ خطوةٍ تسبق قولك إنّ نقطةً ما هي مركز أبعادٍ متناسبة؟
- أ)التحقّق من أنّ المعاملات كلّها موجبة
- ب)حساب مجموع المعاملات والتحقّق من أنّه غير معدوم
- ج)التحقّق من أنّ النّقاط الأربع ليست في مستوٍ واحد
2. $(A, 4)$ و $(B, - 6)$ و $(C, 1)$ و $(D, 1)$ . أيوجد لها مركز أبعادٍ متناسبة؟
- أ)نعم، والمعامل $- 6$ هو الذي يعيّن موضعه
- ب)لا، لأنّ المجموع $4 - 6 + 1 + 1$ يساوي صفراً
- ج)لا، لأنّ المعامل $- 6$ سالب
3. في مبرهنة 7، ما شرط النقطة $M$ ؟
- أ)أن تكون خارج المستوي $(A B C)$
- ب)أن تكون $M$ هي $G$ نفسها
- ج)لا شرط عليها، فهي أيّ نقطةٍ من الفراغ
4. $G$ مركز $(A, 1)$ و $(B, 1)$ و $(C, 1)$ و $(D, 1)$ ، و $G^{'}$ مركز ثقل $A B C$ . بأيّ معاملٍ تدخل $G^{'}$ ؟
- أ)بالمعامل $1$ ، لأنّها نقطةٌ واحدة
- ب)بالمعامل $\frac{1}{3}$ ، لأنّها متوسّط ثلاث نقاط
- ج)بالمعامل $3$ ، وهو مجموع معاملات النّقاط التي تنوب عنها
5. أيّ العلاقات يصف موضع مركز ثقل رباعي الوجوه $A B C D$ ؟
- أ) $\vec{G G^{'}} = \frac{1}{4} \vec{G^{'} D}$
- ب) $\vec{G^{'} G} = \frac{1}{4} \vec{G^{'} D}$
- ج) $\vec{G^{'} G} = \frac{1}{3} \vec{G^{'} D}$
6. في المثلّث يقسم مركز الثقل المتوسّط بنسبة $2 : 1$ من جهة الرأس. فما النسبة في رباعي الوجوه؟
- أ) $3 : 1$
- ب) $2 : 1$ أيضاً، فالخاصّة واحدة
- ج) $1 : 3$ ، أي الرُبع من جهة الرأس
7. متى يجوز أن تسمّي $G$ «مركز ثقل»؟
- أ)دائماً، فالتسميتان مترادفتان
- ب)عندما تكون المعاملات كلّها موجبة
- ج)عندما تكون المعاملات الأربعة متساوية
8. انتهى حسابك إلى أنّ $M$ مركز ثلاث نقاطٍ مثقّلة. ماذا أثبتّ؟
- أ)أنّ $M$ تقع في المستوي المعيَّن بتلك النّقاط الثلاث
- ب)أنّ $M$ تقع على استقامةٍ واحدة مع تلك النّقاط
- ج)أنّ $M$ هي مركز ثقل المثلّث المعيَّن بها
9. متى تكون العلاقة الشعاعيّة جاهزةً لتُقرأ علاقةَ مركزٍ؟
- أ)عندما يخلو الطرف الأيمن من أيّ شعاع
- ب)عندما تكون المعاملات أعداداً صحيحة
- ج)عندما تبدأ الأشعّة كلّها من النقطة نفسها، وهي النقطة المجهولة
10. $A$ و $B$ و $C$ ثلاث نقاط. ما الذي يُثبت وجود نقطةٍ وحيدة $M$ تحقّق $\vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} = \vec{0}$ ؟
- أ)أنّ مجموع المعاملات $1 + 1 - 1$ يساوي $1$ ، وهو غير معدوم
- ب)حساب إحداثيّات $M$ في معلمٍ مناسب
- ج)أنّ النّقاط الثلاث ليست على استقامة واحدة
11. في تمرين الكتاب يُطلب إثبات $\vec{I J} = k \vec{B D} = \vec{L K}$ . ما الذي يتبع منه عن الرباعيّ $I J K L$ ؟
- أ)أنّه متوازي أضلاع، لأنّ $\vec{I J} = \vec{L K}$ تساوي شعاعين لا طولين
- ب)أنّ ضلعين منه متساويان في الطول فقط
- ج)أنّه معيّن، لأنّ أضلاعه الأربعة متساوية
12. أردت جمع $(A, 2)$ و $(B, 3)$ و $(C, - 5)$ في نقطةٍ واحدة $H$ لتطبيق الخاصّة التّجميعيّة. أينجح ذلك؟
- أ)نعم، ما دام مجموع الأربعة غير معدوم
- ب)لا، لأنّ $2 + 3 - 5 = 0$ ، فـ $H$ لا توجد
- ج)نعم، ويكون معامل $H$ معدوماً

سلّم التصحيح

1. ب نعم، والكتاب يفعلها أمامك في المثال المحلول: يكتب $1 + (- 2) + 3 \neq 0$ قبل أن يسمّي $K$ مركزاً. من دون هذه الخطوة تكون العبارة بلا معنى، لأنّ المركز قد لا يوجد.
2. ب نعم. المعامل السالب ليس المشكلة، بل المجموع. ولو كان $B$ بالمعامل $- 5$ لكان المجموع $1$ ولوُجد المركز.
3. ج نعم، والنصّ يقول «أياً كانت النقطة $M$ ». وهذه حرّيّةٌ تُستثمر: اختر $M = O$ إن أردت إحداثيّات، أو $M = A$ لتُسقط الحدّ الأوّل.
4. ج نعم. فتصير المسألة نقطتين: $(G^{'}, 3)$ و $(D, 1)$ ، ومجموعهما $4$ ، وهو مقام الكسر $\vec{G^{'} G} = \frac{1}{4} \vec{G^{'} D}$ .
5. ب نعم. المقام $4$ هو مجموع المعاملين $3 + 1$ ، والبداية $G^{'}$ لا $G$ . فتقع $G$ على رُبع المتوسّط من جهة القاعدة.
6. أ نعم: $\vec{D G} = \frac{3}{4} \vec{D G^{'}}$ ، فالقطعة من الرأس إلى $G$ ثلاثة أمثال ما بقي. والقاعدة عامّة: النسبة هي عدد النقاط المجموعة إلى واحد.
7. ج نعم، ومركز الثقل حالةٌ خاصّة من مركز الأبعاد المتناسبة، تلك التي معاملاتها كلّها $1$ أو متساوية. وعندئذ فقط تصلح خواصّ المتوسّطات.
8. أ نعم، ولا أكثر. ولو أردت الاستقامة لوجب أن تجمع نقطتين منها في نائبٍ واحد أوّلاً، فتبقى نقطتان.
9. ج نعم. ما دام في العلاقة شعاعٌ واحد يبدأ من نقطةٍ أخرى، فلم تنتهِ بعد. وهذا ما تفعله علاقة شال: تُقحم النقطة المطلوبة في كلّ حدّ.
10. أ نعم، وهذا هو البرهان كلّه. $M$ مركز $(A, 1)$ و $(B, 1)$ و $(C, - 1)$ ، والتعريف يضمن الوجود والوحدانيّة متى كان المجموع غير معدوم. لا حاجة إلى إحداثيّات.
11. أ نعم. تساوي الشعاعين يعني تساوي الطول والمنحى والاتّجاه معاً، وهذا بالضبط شرط متوازي الأضلاع. ولأنّ الأربعة تقع عندئذ في مستوٍ واحد، فقد ثبت الاستواء أيضاً.
12. ب نعم، وهذا شرطٌ لا تجده في نصّ مبرهنة 8: هي تشترط المجموع الرباعيّ فقط. شرط الثلاثة مختبئٌ في تسمية $H$ مركزاً. الحلّ أن تجمع ثلاثاً أخرى، فلك أربع طرقٍ للتجميع.