المعلم في الفراغ

ما هو المعلم

انتبه: اقرأ الشرط بدقّة: «ليست مرتبطة خطيّاً». لا يقول الكتاب متعامدة، ولا يقول متساوية الطول. أيّ ثلاثة أشعّة لا تقع في مستوٍ واحد تصلح أساساً. كلمة «متجانس»، أي متعامد ومتساوي الوحدات، لا ترد في هذا الدرس إطلاقاً، بل في الدرس التالي. لا تفترض ما لم يُقل.

الإحداثيّات ومركّبات الشّعاع

الآن يأتي السطر الذي يجعل الحساب ممكناً: في معلمٍ معيّن، لكلّ نقطةٍ ثلاثة أعداد لا رابع لها، ولا تصلح ثلاثيّة أخرى.

تذكّر: برهان الوجود بسيط ويستحقّ أن تراه: المستقيم المارّ بـ$M$ في منحى $\vec{k}$ يقطع المستوي $(O,\vec{i},\vec{j})$ في نقطةٍ $M^{\mathrm{\prime }}$. ومبرهنة المستوي تعطي $x$ و$y$ لـ$M^{\mathrm{\prime }}$، ثمّ $\overrightarrow{M^{\mathrm{\prime }}M}$ مرتبطٌ خطّياً بـ$\vec{k}$ فيعطي $z$، وعلاقة شال تجمعهما. أمّا الوحدانيّة فالكتاب لا يبرهنها بل يقبلها: «نقبل وحدانيّة كتابة $\overrightarrow{OM}$».

انتبه: إحداثيّات نقطةٍ ومركّبات شعاعٍ ثلاثيّتان من الأعداد، لكنّهما ليستا الشيء نفسه. إحداثيّات $M$ تصف موقعاً بالنسبة إلى المبدأ $O$، ومركّبات $\vec{u}$ تصف انتقالاً لا موقع له. أنّ الثلاثيّتين تتطابقان هنا سببه أنّ الشّعاع أُخذ مبدؤه $O$ بالذات.

قواعد الحساب بالإحداثيّات

يبدأ الكتاب هذه الفقرة بجملةٍ واحدة تختصرها كلّها: «جميع النتائج المتعلّقة بالإحداثيّات في المستوي تمتدُّ على الفراغ بإضافة إحداثيّة ثالثة». ثمّ يعدّد أربع قواعد بلا برهان، وهي كلّ ما تحتاجه التمارين.

انتبه: إن كنت تقارن بالكتاب المطبوع، فستجد في سطر المثال $(x_B-x_A,y_B-y_B,z_B-z_A)$، بحرف $B$ مرّتين في الوسط. هذا خطأ طباعيّ؛ الصواب $y_B-y_A$. ولو طبّقت السطر المطبوع لحصلت على $0$ بدل $1$ في المركّبة الثانية. أمّا النتيجة المطبوعة في الكتاب فصحيحة، فالخطأ في طباعة السطر وحده لا في الحساب. القاعدة واحدة في المركّبات الثلاث: النهاية ناقص البداية.

انتبه: شرط ${\mathbb{R}}^{\ast }$ في السطر الأخير ليس شكليّاً، والكتاب نفسه يصطدم به: في تمرين الصفحة التالية تُعطى النّقاط $A(1,-1,0)$ و$B(1,-1,4)$ و$C(1,-1,-3)$، وفيها مركّبتان معدومتان، فلا تُكتب النسب أصلاً. في مثل هذه الحالة عُد إلى الصيغة الأولى $\vec{u}=k\vec{v}$ وابحث عن $k$ من مركّبةٍ غير معدومة، ثمّ تحقّق منها في الباقي.

الحساب في معلمٍ معطى

المعلم تختاره أنت

هنا يقفز الكتاب قفزةً تستحقّ أن تُسمّى. في المثال السابق كان المعلم معطىً، وفي المثال الآتي يختاره الحلّ بنفسه: $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AI})$، أي مبدؤه رأسٌ من المجسّم وأشعّته ثلاثة أحرف. الحاشية الوحيدة التي تشرح ذلك هي جملةٌ بجانب مصباح: «نختار معلماً تكون إحداثيّات رؤوس المجسّم المعطى بالنسبة إليه سهلة الحساب».

انتبه: أحرف متوازي السّطوح ليست بالضرورة متعامدة ولا متساوية الطول، ومع ذلك تصلح أساساً. السبب أنّ الشرط الوحيد هو ألّا تكون مرتبطة خطّياً، وثلاثة أحرف تخرج من رأسٍ واحد لا تقع في مستوٍ واحد. من انتظر معلماً متعامداً انتظر شرطاً لا يرد في هذا الدرس أصلاً.

تذكّر: الربح كلّه في الأرقام: باختيار $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AI})$ تصير إحداثيّات الرؤوس أصفاراً وآحاداً، فيكون $B(1,0,0)$ و$D(0,1,0)$ و$J(1,0,1)$ و$K(1,1,1)$. المسألة نفسها في معلمٍ عشوائيّ تعني كسوراً في كلّ سطر.