الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: المعلم في الفراغ

الأشعّة في الفراغ . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. أيُّ جملةٍ من ثلاثة أشعّة تصلح أساساً لأشعّة الفراغ؟
- أ)ثلاثة أشعّة مختلفة مثنى مثنى
- ب)ثلاثة أشعّة ليست مرتبطة خطّياً
- ج)ثلاثة أشعّة تقع في مستوٍ واحد
2. إحداثيّات $M$ في المعلم $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ هي $(1, 2, 3)$ . فما إحداثيّاتها في $(O; \vec{i}, \vec{k}, \vec{j})$ ؟
- أ) $(1, 3, 2)$
- ب) $(1, 2, 3)$
- ج) $(3, 2, 1)$
3. لدينا $A (2, 1, - 1)$ و $B (1, 3, - 1)$ . ما مركّبات $\vec{A B}$ ؟
- أ) $(1, 3, - 1)$
- ب) $(1, - 2, 0)$
- ج) $(- 1, 2, 0)$
4. في $M (x, y, z)$ ، ماذا يُسمّى العدد $y$ ؟
- أ)ترتيب النّقطة
- ب)فاصلة النّقطة
- ج)علوّ النّقطة أو راقمها
5. في تمرين الكتاب: $C (0, - 2, 2)$ و $D (- 2, 5, 1)$ . ما مركّبات $\vec{C D}$ ؟
- أ) $(2, - 7, 1)$
- ب) $(- 2, 7, - 1)$
- ج) $(- 2, 5, 1)$
6. في التمرين نفسه: $E (3, 9, 2)$ و $F (8, 13, 3)$ . ما إحداثيّات منتصف $[E F]$ ؟
- أ) $(\frac{5}{2}, 2, \frac{1}{2})$
- ب) $(11, 22, 5)$
- ج) $(\frac{11}{2}, 11, \frac{5}{2})$
7. لدينا $A (3, 5, 2)$ و $B (2, - 1, 3)$ و $C (0, - 2, 2)$ . ما إحداثيّات $K$ التي تجعل $A B C K$ متوازي أضلاع؟
- أ) $(- 1, - 8, 3)$
- ب) $(5, 6, 3)$
- ج) $(1, 4, 1)$
8. بعد إقحام $A$ في علاقة مركز الثقل نحصل على $3 \vec{G A} = - (\vec{A B} + \vec{A I} + \vec{A K})$ . فما $\vec{A G}$ ؟
- أ) $\vec{A G} = - \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A I} + \vec{A K})$
- ب) $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A I} + \vec{A K})$
- ج) $\vec{A G} = - 3 (\vec{A B} + \vec{A I} + \vec{A K})$
9. لدينا $A (1, - 1, 0)$ و $B (1, - 1, 4)$ و $C (1, - 1, - 3)$ . هل تقع على استقامة واحدة؟
- أ)نعم، إذ إنّ $\vec{A C} = - \frac{3}{4} \vec{A B}$
- ب)لا، لأنّ النسب $\frac{0}{0}$ غير معرّفة
- ج)لا يمكن البتّ من دون رسم
10. $\vec{A B} (- 3, 3, 2)$ و $\vec{A C} (- 1, 1, - 5)$ . ما الحكم؟
- أ)مرتبطان خطّياً مع $k = \frac{1}{3}$
- ب)مرتبطان خطّياً مع $k = - \frac{5}{2}$
- ج)غير مرتبطين: النسبتان الأوليان $\frac{1}{3}$ والثالثة $- \frac{5}{2}$
11. لدينا $A (2, 3, - 2)$ و $B (5, - 1, 0)$ . جد، إن أمكن، النّقطة $M$ المحقّقة $\vec{M A} = \vec{M B}$ .
- أ)لا توجد نقطةٌ كهذه
- ب) $M$ هي منتصف $[A B]$
- ج)أيّ نقطةٍ $M$ من الفراغ تصلح
12. في معلمٍ $(A; \vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A I})$ مأخوذٍ من أحرف متوازي سطوح، أيصحّ حساب طول $\vec{u} (1, 1, 1)$ بالجذر $\sqrt{1 + 1 + 1}$ ؟
- أ)نعم، فهذه صيغة عامّة في كلّ معلم
- ب)لا، فالصيغة تفترض معلماً متعامداً متساوي الوحدات
- ج)نعم، ما دامت المركّبات موجبة

سلّم التصحيح

1. ب نعم، وهذا هو الشرط الوحيد في تعريف المعلم. لا الطول ولا الزاوية يدخلان فيه.
2. أ نعم. الكتابة $\vec{O M} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 3 \vec{k}$ لم تتغيّر، لكنّ الأساس الجديد يضع $\vec{k}$ في الموضع الثاني، فيصير معامله هو الترتيب.
3. ج نعم: $(1 - 2, 3 - 1, - 1 - (- 1))$ . لاحظ أنّ المركّبة الثالثة معدومة، أي إنّ $A$ و $B$ على العلوّ نفسه.
4. أ نعم. الكتاب يسمّي الثلاثة على التوالي: $x$ فاصلة، $y$ ترتيب، $z$ علوّ أو راقم.
5. ب نعم: $(- 2 - 0, 5 - (- 2), 1 - 2)$ . انتبه إلى $5 - (- 2) = 7$ ، فالطرح هنا يزيد.
6. ج نعم: $(\frac{3 + 8}{2}, \frac{9 + 13}{2}, \frac{2 + 3}{2})$ . الكسور هنا طبيعيّة، ولا داعي لتجنّبها.
7. ج نعم. من $\vec{A B} = \vec{K C}$ نحصل على $K = C - \vec{A B} = (0 + 1, - 2 + 6, 2 - 1)$ .
8. ب نعم، وهما خطوتان لا واحدة: القسمة على $3$ ، ثمّ قلب الشّعاع $\vec{G A}$ إلى $\vec{A G}$ مع قلب الإشارة.
9. أ نعم. $\vec{A B} (0, 0, 4)$ و $\vec{A C} (0, 0, - 3)$ ، وصيغة النسب متعذّرة لأنّ مركّبتين معدومتان. العودة إلى $\vec{A C} = k \vec{A B}$ تحسم الأمر فوراً.
10. ج نعم. اختلاف نسبةٍ واحدة يكفي للنفي، ولا حاجة إلى شيءٍ بعد ذلك. وهذا هو الفرق عن المستوي، حيث نسبتان تحسمان.
11. أ نعم. المساواة تكافئ $\vec{M A} - \vec{M B} = \vec{0}$ ، أي $\vec{B A} = \vec{0}$ ، أي $A = B$ ، وهما مختلفتان. عبارة «إنْ أمكن» في نصّ التمرين تنبيهٌ مقصود.
12. ب نعم. هذا المعلم صالح تماماً لإيجاد الإحداثيّات، لكنّ الأطوال والزوايا لا تُحسب فيه. تأتي شروط «المعلم المتجانس» في الدرس التالي.