الارتباط الخطّي لثلاثة أشعّة

كلمةٌ واحدة، معنيان

قبل أيّ حساب، ثبّت هذا التمييز، فهو مصدر أكثر الأخطاء في هذا الدرس. العبارة «مرتبطة خطّياً» لا تحمل معنىً ثابتاً، بل يتغيّر بعدد الأشعّة التي تصفها.

تذكّر: شعاعان مرتبطان خطّياً: يقعان على منحىً واحد، فحاملاهما متوازيان. وإن خرجا من نقطةٍ واحدة صارت النّقاط على استقامة واحدة. ثلاثة أشعّة مرتبطة خطّياً: تقع في مستوٍ واحد. الكلمة واحدة، والهندسة مختلفة. عُدّ الأشعّة قبل أن تقرّر ما تعنيه.

انتبه: لا تبحث في ثلاثة أشعّة عن شعاعين على منحىً واحد لتستنتج الارتباط. الكتاب يحذّر من ذلك في المثال صراحةً: «ليس واضحاً من الشّكل وجود شعاعين مرتبطين خطيّاً من بين الأشعّة الثّلاثة وقد لا يكون ذلك صحيحاً». ثلاثة أشعّة قد تقع في مستوٍ واحد من دون أن يكون أيّ اثنين منها على منحىً واحد.

المستوي بشعاعَي توجيه

الكتاب لا يبدأ بالأشعّة الثلاثة، بل بالمستوي. والسبب منطقيّ: ليقول إنّ ثلاثة أشعّة تقع في مستوٍ واحد، يحتاج أوّلاً وصفاً حسابيّاً للمستوي. هذا ما تقدّمه المبرهنة الآتية.

ومع المبرهنة يأتي اسمان جديدان، يضعهما الكتاب بلونٍ مميّز: نقول إنّ $\overrightarrow{AB}$ و$\overrightarrow{AC}$ «يوجّهان» المستوي $(ABC)$، ونقول إنّهما «شعاعا توجيه» فيه. وفي إطارٍ جانبيّ يعمّم الكتاب ذلك بلا برهان: يتعيّن مستوٍ عموماً بنقطةٍ وشعاعين غير مرتبطين خطّياً، هما شعاعا توجيهه.

انتبه: الشرط «ليست واقعة على استقامة واحدة» ليس زينة. لو وقعت النّقاط الثلاث على استقامة واحدة لما كان $(ABC)$ مستوياً أصلاً، ولانكمشت المجموعة $\{x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\}$ إلى استقامة. وانتبه أيضاً إلى أنّ $x$ و$y$ يأخذان كلّ القيم من $\mathbb{R}$، لا على $[0,1]$: مع التقييد تحصل على متوازي أضلاع، لا على المستوي.

تعريف الارتباط لثلاثة أشعّة

انتبه: التعريف يقول «وُجدتْ نقطةٌ $O$»، لا «لتكن $O$ نقطةً معيّنة». ومع ذلك فالسطر الثاني يحسم الأمر: إن صحّت الخاصّة عند نقطةٍ واحدة صحّت عند كلّ نقطة. لذلك اختر $O$ حيث يريحك الحساب، وغالباً رأساً من رؤوس الشكل.

تذكّر: هذه الملاحظة تُغلق حالةً كاملة: إذا كان اثنان من الأشعّة الثلاثة على منحىً واحد، فالثلاثة مرتبطة خطّياً مهما كان الثالث. فيوجد على الأقلّ مستوٍ واحد يحوي المستقيم الذي يحملهما والنّقطة الثالثة، والثلاثة فيه.

من الصورة إلى الحساب

التعريف أعلاه صورةٌ في الذهن: أربع نقاط في مستوٍ واحد. لكنّك لا تستطيع أن تحسب به. المبرهنة الآتية تترجمه إلى معادلة، والجسر بينهما هو مبرهنة 3 من أوّل الدرس: إن كان $\vec{u}$ و$\vec{v}$ غير مرتبطين خطّياً، فهما شعاعا توجيه المستوي $(OAB)$، ومبرهنة 3 تقول إنّ كلّ نقطة من ذلك المستوي تُكتب بهما. أن تقع $C$ في المستوي يعني إذن أن يُكتب $\overrightarrow{OC}$ بهما. وهذه هي المعادلة.

انتبه: لا تستعمل هذه المبرهنة قبل أن تتحقّق من شرطها. لو كان $\vec{u}$ و$\vec{v}$ مرتبطين خطّياً، لصار الكلام خاطئاً لا ناقصاً: يمكن عندئذ أن يقع $\vec{w}$ خارج منحاهما، فتكون الأشعّة الثلاثة مرتبطة خطّياً بحكم الملاحظة، ومع ذلك لا يوجد $a$ و$b$ يحقّقان المساواة. الشرط هو الذي يمنع هذه الحالة.

الحيلة: جمع سلسلتَي شال

انتبه: انتبه إلى $I$ في هذا المثال: هي منتصف $[BE]$، أي منتصف قطر وجه، لا منتصف حرف. وفي الدرس السابق وفي أحد تمارين هذا الدرس تسمّى $I$ منتصف $[EF]$، وهو حرف. الرمز نفسه، والنقطة غير النقطة.

ما ينفع فيه هذا كلّه

في آخر الدرس يجيب الكتاب عن سؤال الفائدة بطريقتين لكلّ حالة، هندسيّة وشعاعيّة. الشعاعيّة هي التي تنفع في الفراغ، لأنّ الرسم ثلاثيّ الأبعاد يخدع العين.

انتبه: في الطريقة الثانية تأتي الأشعّة من مستويين مختلفين، لا من واحد. كلّ ثلاثيّة تضمّ شعاعَي التوجيه من المستوي الأوّل وشعاعاً واحداً من الثاني. من أخذ الثلاثة من المستوي نفسه أثبت شيئاً صحيحاً وبلا فائدة: أشعّة مستوٍ واحد مرتبطة خطّياً دائماً.