ورقة تمارين: خواص طويلة عدد عقدي وزاويته

1. إذا كانت $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=3$ و $\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=5$، فما $\mathrm{\mid }z{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$؟

• أ)$8$
• ب)$\frac{3}{5}$
• ج)$\mathrm{1<!--\; -->5}$

2. إذا كانت $\arg z=\frac{\pi }{4}$ و $\arg z^{\mathrm{\prime }}=\frac{\pi }{6}$، فما $\arg (z{z}^{\mathrm{\prime }})$؟

• أ)$\frac{5\pi }{\mathrm{1<!--\; -->2}}$
• ب)$\frac{{\pi }^2}{\mathrm{2<!--\; -->4}}$
• ج)$\frac{\pi }{\mathrm{1<!--\; -->2}}$

3. ليكن $z=2(\cos \frac{\pi }{5}+i\sin \frac{\pi }{5})$ و $z^{\mathrm{\prime }}=3(\cos (-\frac{\pi }{4})+i\sin (-\frac{\pi }{4}))$. ما الجداء $z{z}^{\mathrm{\prime }}$؟

• أ)$6(\cos \frac{9\pi }{\mathrm{2<!--\; -->0}}+i\sin \frac{9\pi }{\mathrm{2<!--\; -->0}})$
• ب)$6(\cos (-\frac{\pi }{\mathrm{2<!--\; -->0}})+i\sin (-\frac{\pi }{\mathrm{2<!--\; -->0}}))$
• ج)$5(\cos (-\frac{\pi }{\mathrm{2<!--\; -->0}})+i\sin (-\frac{\pi }{\mathrm{2<!--\; -->0}}))$

4. إذا كانت $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=2$، فما $\mathrm{\mid }{z}^4\mathrm{\mid }$؟

• أ)$\mathrm{1<!--\; -->6}$
• ب)$8$
• ج)$2$

5. إذا كانت $\arg z=\frac{\pi }{5}$، فما $\arg (z^3)$؟

• أ)$\frac{\pi }{\mathrm{1<!--\; -->5}}$
• ب)${\left(\frac{\pi }{5}\right)}^3$
• ج)$\frac{3\pi }{5}$

6. ما نصّ دستور دوموافر؟

• أ)$\cos n\theta +i\sin n\theta$
• ب)${\cos }^n\theta +i{\sin }^n\theta$
• ج)$n\cos \theta +in\sin \theta$

7. إذا كانت $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=6$ و $\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=2$، فما $\mid \frac{z}{z^{\mathrm{\prime }}}\mid$؟

• أ)$3$
• ب)$\mathrm{1<!--\; -->2}$
• ج)$4$

8. إذا كانت $\arg w=\frac{\pi }{3}$ و $w$ غير معدوم، فما $\arg \left(\frac{1}{w}\right)$؟

• أ)$\pi +\frac{\pi }{3}$
• ب)$\frac{\pi }{3}$
• ج)$-\frac{\pi }{3}$

9. ليكن $z=4(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})$ و $z^{\mathrm{\prime }}=\frac{3}{2}(\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6}))$. ما $\frac{z}{z^{\mathrm{\prime }}}$؟

• أ)$\frac{8}{3}(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})$
• ب)$\frac{8}{3}(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})$
• ج)$6(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})$

10. إذا كانت $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=3$ و $\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=4$، فماذا نعرف عن $\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$؟

• أ)لا تُعيَّن بالمعطيات، لكنّها لا تتجاوز $7$
• ب)تساوي $7$ دائماً
• ج)تساوي $5$ دائماً

11. ليكن $z$ غير معدوم و $z^{\mathrm{\prime }}=-z$. ما $\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$؟

• أ)$2\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$
• ب)$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$
• ج)$0$

12. أيّ العبارات الآتية صحيحة لأيّ عددين عقديين؟

• أ)$\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$
• ب)$\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\ge \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$
• ج)$\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$

13. ما الشكل الجبري لهذا العدد؟

• أ)$\mathrm{1<!--\; -->6}-\mathrm{1<!--\; -->6}\sqrt{3}i$
• ب)$\mathrm{1<!--\; -->6}+\mathrm{1<!--\; -->6}\sqrt{3}i$
• ج)$1-9\sqrt{3}i$

14. ما أنسب طريقة لحساب $(1+i{)}^{\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->1<!--\; -->6}}$؟

• أ)نفكّ القوس بدستور ثنائي الحدّ
• ب)نكتب $1+i$ بالشكل المثلّثي ثمّ نطبّق نتيجة 5
• ج)نرفع كلّ حدّ إلى القوّة $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->1<!--\; -->6}$ على حدة

15. لماذا تشترط مبرهنة 4 أن يكون $z$ و $z^{\mathrm{\prime }}$ غير معدومين؟

• أ)لأنّ $\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }$ غير معرّفة
• ب)لأنّ الصفر لا زاوية له، فلا معنى لجمع الزوايا
• ج)لأنّ الجداء يصير معدوماً وهذا ممنوع

16. أيّ مقارنة مسموحة بين عددين عقديين $z$ و $z^{\mathrm{\prime }}$؟

• أ)$z<z^{\mathrm{\prime }}$
• ب)$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$
• ج)$\arg z<\arg z^{\mathrm{\prime }}$