الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: التابع الأسّي النيبري

التابع الأسّي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. اكتب بأبسط ما يمكن: $A = e^{\ln 2} + e^{\ln 3}$ .
- أ) $6$
- ب) $5$
- ج) $\ln 5$
2. اكتب بأبسط ما يمكن: $D = e^{- \ln \frac{3}{2}} + e^{\ln \frac{1}{3}}$ .
- أ) $1$
- ب) $\frac{11}{6}$
- ج) $- \frac{7}{6}$
3. ما مجموعة تعريف العبارة $C = \ln (e^{\frac{1}{x}}) + e^{- \ln x}$ ؟
- أ) $] 0, + \infty [$
- ب) $R^{*}$
- ج) $R$
4. اكتب بأبسط ما يمكن على $] 0, + \infty [$ : $A = e^{\ln x} - \ln (2 e^{x})$ .
- أ) $\ln 2$
- ب) $0$
- ج) $- \ln 2$
5. حلّ المعادلة $e^{3 - x} = 1$ في $R$ .
- أ) $x = - 3$
- ب) $x = 3$
- ج)لا حلّ، لأنّ التابع الأسّي موجبٌ تماماً ولا يبلغ $1$
6. حلّ المعادلة $e^{2 x^{2} + 3} = e^{7 x}$ في $R$ .
- أ) ${1, 6}$
- ب) ${3}$
- ج) ${\frac{1}{2}, 3}$
7. حلّ المعادلة $2 e^{- x} = \frac{1}{e^{x} + 2}$ في $R$ .
- أ) $x = \ln 4$
- ب) $x = \ln (- 4)$
- ج) $S = \emptyset$
8. حلّ المعادلة $\ln (e^{x} - 2) = 3$ في $R$ .
- أ) $x = \ln (e^{3} + 2)$ ، بعد التحقّق من الشرط $x > \ln 2$
- ب) $x = 5$
- ج) $x = \ln (e^{3} + 2)$ ، بلا حاجةٍ إلى أيّ شرط
9. حلّ المتراجحة $e^{x^{2} - 2} \leq e^{4 - x}$ في $R$ .
- أ) $] - 3, 2 [$
- ب) $[- 3, 2]$
- ج) $] - \infty, - 3] \cup [2, + \infty [$
10. حلّ المتراجحة $(e^{x} - 1) (e^{x} - 4) < 0$ في $R$ .
- أ) $] 1, 4 [$
- ب) $] 0, 2 \ln 2 [$
- ج) $] - \infty, 0 [\cup] 2 \ln 2, + \infty [$
11. لماذا تتّفق إشارة $e^{x} - \frac{4}{e^{x}}$ مع إشارة $e^{x} - 2$ ؟
- أ)لأنّ الكسر يُهمل عندما يكبر $x$
- ب)لأنّ $e^{x} + 2$ و $e^{x}$ قد تتغيّر إشارتهما، فيجب إدخالهما في جدول الإشارة
- ج)لأنّ $e^{x} - \frac{4}{e^{x}} = \frac{(e^{x} - 2) (e^{x} + 2)}{e^{x}}$ ، والعاملان الآخران موجبان تماماً
12. واعتماداً على ذلك، حلّ المتراجحة $e^{x} - \frac{4}{e^{x}} < 0$ في $R$ .
- أ) $] - \infty, \ln 2 [$
- ب) $] - \infty, 2 [$
- ج) $] \ln 2, + \infty [$

سلّم التصحيح

1. ب نعم. $e^{\ln 2} = 2$ و $e^{\ln 3} = 3$ ، والشرط $x > 0$ محقّقٌ في الحدّين. ونتائج مسائل هذا التمرين الأربع كلّها أعداد طبيعيّة، وهذه إشارةٌ مقصودة تساعدك على المراجعة.
2. أ نعم. $e^{- \ln a} = \frac{1}{a}$ ، فالحدّ الأوّل $\frac{2}{3}$ والثاني $\frac{1}{3}$ ، ومجموعهما $1$ .
3. أ نعم، وهو التقاطع لا الاتّحاد. الحدّ الأوّل يحتاج $x \neq 0$ وحدها، والحدّ الثاني يحتاج $x > 0$ لأنّ $\ln x$ يجب أن يكون موجوداً. والعبارة معرّفةٌ حيث يكون الحدّان معاً معرّفين. بعد ذلك $C = \frac{2}{x}$ .
4. ج نعم، والنتيجة ثابتة: $x$ يختفي تماماً. $e^{\ln x} = x$ لأنّ $x > 0$ ، و $\ln (2 e^{x}) = \ln 2 + x$ ، فيبقى $- \ln 2$ عند كلّ $x$ موجب.
5. ب نعم. $1 = e^{0}$ ، فتصير المعادلة $e^{3 - x} = e^{0}$ ، وتُقرأ على الأُسَّين مباشرةً بحسب النتيجة 1.
6. ج نعم. المعادلة من النمط $e^{u (x)} = e^{v (x)}$ ، فمجموعة حلولها هي مجموعة حلول $u (x) = v (x)$ نفسها، أي $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ .
7. ج نعم. بالضرب التبادليّ $2 (e^{x} + 2) = e^{x}$ ، أي $e^{x} = - 4$ ، وهذا مستحيلٌ لأنّ $e^{x} > 0$ دائماً. في هذا التمرين وحده مسألتان مجموعة حلولهما خالية، والكتاب لا ينبّه إلى ذلك.
8. أ نعم، وبالترتيب الصحيح. الشرط $e^{x} - 2 > 0$ أوّلاً، ثمّ $e^{x} - 2 = e^{3}$ . والقيمة $\ln (e^{3} + 2) \approx 3.0949$ أكبر من $\ln 2 \approx 0.6931$ ، فالجواب يمرّ.
9. ب نعم. السطر الثالث من النتيجة 1 ينقل المتراجحة إلى الأُسَّين: $x^{2} - 2 \leq 4 - x$ ، أي $x^{2} + x - 6 \leq 0$ ، وجذراه $- 3$ و $2$ .
10. ب نعم. الجداء سالبٌ بين الجذرين، أي $1 < e^{x} < 4$ ، ثمّ $\ln 1 = 0$ و $\ln 4 = 2 \ln 2 \approx 1.3863$ . التابع الأسّي متزايدٌ تماماً فلا ينقلب الترتيب.
11. ج نعم، وهذه هي الحركة التي تتكرّر في كلّ الوحدة: وحّد المقام، حلّل، ثمّ اشطب كلّ عاملٍ موجبٍ تماماً. يبقى $e^{x} - 2$ وحده صاحب القرار.
12. أ نعم. الإشارة هي إشارة $e^{x} - 2$ ، فالمطلوب $e^{x} < 2$ ، أي $x < \ln 2$ . ولاحظ أنّ التمرين نفسه يعود في الدرس التالي بعلامة $\leq$ بدل $<$ ، فيصير المجال مغلقاً عند $\ln 2$ ، ويُحلّ هناك بتغيير المجهول بدل الإشارة.