الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: نهايات مهمّة تتعلّق بالتابع الأسّي

التابع الأسّي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{3}}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج)1، لأنّ البسط والمقام يكبران معاً
2. ما قيمة $\lim_{x \to - \infty} x^{4} e^{x}$ ؟
- أ) $+ \infty$
- ب) $- \infty$
- ج) $0$
3. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} (x - e^{x})$ ؟
- أ) $- \infty$
- ب) $+ \infty$
- ج)حالة عدم تعيين لا تُحسب
4. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 e^{x} + 1}{1 + e^{x}}$ ؟
- أ) $2$
- ب) $1$
- ج)حالة عدم تعيين من النمط $\frac{\infty}{\infty}$ ، فلا نهاية
5. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} (e^{x} - x^{2})$ ؟
- أ) $- \infty$
- ب) $0$
- ج) $+ \infty$
6. ليكن $f (x) = e^{- x} + x - 2$ . ما المقارب للخطّ البياني $C$ في جوار $+ \infty$ ؟
- أ)المستقيم $y = 0$ ، لأنّ $e^{- x} \to 0$
- ب)المستقيم المائل $d : y = x - 2$
- ج)لا مقارب، لأنّ $f$ يسعى إلى $+ \infty$
7. ولنفس التابع: أين يقع $C$ بالنسبة إلى $d$ ؟
- أ)فوقه عند كلّ عددٍ حقيقيّ
- ب)لا يمكن تحديد ذلك من النهاية
- ج)فوقه بعد نقطة تقاطعٍ واحدة وتحته قبلها
8. ولنفسه: ما إشارة $f^{'} (x)$ ؟
- أ)موجبةٌ عند كلّ $x$ ، لأنّ $e^{- x} > 0$
- ب)سالبةٌ عند كلّ $x$ ، لأنّ ${(e^{- x})}^{'} = - e^{- x}$
- ج)إشارة $x$ نفسها: سالبةٌ قبل الصفر وموجبةٌ بعده
9. ولنفسه: لإثبات أنّ للمعادلة $f (x) = 0$ حلّين، نقسم $R$ إلى مجالَي الرتابة. أيّ تقسيمٍ هو الصحيح؟
- أ) $] - \infty, 0]$ و $[0, + \infty [$
- ب) $] - \infty, 0 [$ و $[0, + \infty [$
- ج) $] - \infty, 0 [$ و $] 0, + \infty [$
10. ما قيمة $\lim_{x \to + \infty} 2 x e^{- x}$ ؟
- أ) $+ \infty$
- ب) $0$
- ج) $2$
11. ما قيمة $\lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$ ؟
- أ) $+ \infty$
- ب)1، لأنّ $e^{0} = 1$
- ج)لا وجود لها
12. ما قيمة $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ ؟
- أ) $e$
- ب)1، لأنّ الأساس يسعى إلى $1$
- ج) $+ \infty$

سلّم التصحيح

1. ب نعم، وهذه هي المبرهنة $7$ عند $n = 3$ . ولاحظ أنّ الأمر لا يتعلّق بحجم $n$ : لو كان $n = 100$ لكانت النتيجة نفسها، وإن تأخّرت.
2. ج نعم، النتيجة $8$ عند $n = 4$ . الأُسّ موجبٌ والنهاية عند $- \infty$ ؛ الوجهتان تمشيان معاً في هذه النتيجة، وتتعاكسان في المبرهنة $7$ .
3. أ نعم. أخرِج $e^{x}$ : يصير التابع $e^{x} (\frac{x}{e^{x}} - 1)$ ، وما في القوس يسعى إلى $- 1$ ، فالجداء يسعى إلى $- \infty$ .
4. أ نعم. أخرِج $e^{x}$ من البسط ومن المقام واختصره: يبقى $\frac{2 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ ، و $e^{- x} \to 0$ .
5. ج نعم. أخرِج $e^{x}$ فتصير العبارة $e^{x} (1 - x^{2} e^{- x})$ ، والمبرهنة $7$ عند $n = 2$ تعطي $x^{2} e^{- x} \to 0$ .
6. ب نعم. الفرق $f (x) - (x - 2)$ يساوي $e^{- x}$ بالضبط، ونهايته صفر عند $+ \infty$ . وهذا هو تعريف المقارب المائل حرفيّاً.
7. أ نعم، والفرق هو الدليل: $f (x) - (x - 2) = e^{- x}$ ، وهو موجبٌ تماماً عند كلّ $x$ بلا استثناء. لذلك يكتب الكتاب «كاملاً».
8. ج نعم. $f^{'} (x) = 1 - e^{- x} = e^{- x} (e^{x} - 1)$ ، والعامل الأوّل موجبٌ دائماً، فتبقى إشارة $e^{x} - 1$ ، وهي إشارة $x$ . والقيمة الصغرى $f (0) = - 1$ .
9. ب نعم، والقوسان مقصودان. المجالان منفصلان تماماً، وصورة الأوّل $] - 1, + \infty [$ وصورة الثاني $[- 1, + \infty [$ . الصفر ينتمي إلى كليهما، فهناك حلّ في كلٍّ منهما، ولا حلّ يُحسب مرّتين.
10. ب نعم. $2 x e^{- x} = 2 \times x e^{- x}$ ، والمبرهنة $7$ عند $n = 1$ تعطي $x e^{- x} \to 0$ . والعامل الثابت $2$ لا يغيّر شيئاً.
11. ج نعم. من اليمين $+ \infty$ ومن اليسار $0$ ، والنهايتان الجانبيّتان مختلفتان، فلا نهاية عند الصفر. اكتب الجهتين دائماً حين يكون المتحوّل في المقام.
12. أ نعم. اكتبها $\exp (\frac{\ln (1 + x)}{x})$ ، ونهاية الأُسّ هي $1$ ، فالنتيجة $e^{1}$ . وهي نفسها $\lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ بتغيير المتحوّل.