الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: معادلات تفاضليّة بسيطة

التابع الأسّي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. ما حلول المعادلة التفاضليّة $y^{'} = 3 y$ على $R$ ؟
- أ) $f (x) = k e^{3 x}$
- ب) $f (x) = e^{3 x}$
- ج) $f (x) = 3 e^{x}$
2. ما حلول المعادلة $y^{'} + 2 y = 0$ على $R$ ؟
- أ) $f (x) = k e^{2 x}$
- ب) $f (x) = k e^{- 2 x}$
- ج) $f (x) = k e^{- 2 x} + 2$
3. ما حلول المعادلة $3 y^{'} = 5 y$ على $R$ ؟
- أ) $f (x) = k e^{5 x}$
- ب) $f (x) = k e^{\frac{3}{5} x}$
- ج) $f (x) = k e^{\frac{5}{3} x}$
4. ما حلول المعادلة $2 y^{'} + 3 y = 0$ على $R$ ؟
- أ) $f (x) = k e^{- 3 x}$
- ب) $f (x) = k e^{- \frac{3}{2} x}$
- ج) $f (x) = k e^{\frac{3}{2} x}$
5. حلّ المعادلة $y^{'} = 2 y$ الذي يحقّق $f (0) = 1$ هو:
- أ) $f (x) = e^{2 x}$
- ب) $f (x) = k e^{2 x}$ عند كلّ $k$
- ج) $f (x) = 2 e^{2 x}$
6. حلّ المعادلة $y^{'} + 5 y = 0$ الذي يمرّ خطّه البياني بالنقطة $A (- 2, 1)$ هو:
- أ) $f (x) = e^{10} e^{- 5 x}$
- ب) $f (x) = e^{- 5 x}$
- ج) $f (x) = e^{- 5 (x + 2)}$
7. في المعادلة $y^{'} + 2 y = 0$ ، ميل المماس لخطّ الحلّ عند الفاصلة $- 2$ يساوي $\frac{1}{2}$ . ما الحلّ؟
- أ) $f (x) = \frac{1}{2} e^{- 2 (x + 2)}$
- ب) $f (x) = \frac{1}{4} e^{- 2 (x + 2)}$
- ج) $f (x) = - \frac{1}{4} e^{- 2 (x + 2)}$
8. ما حلول المعادلة $y^{'} = 2 y + 1$ على $R$ ؟
- أ) $g (x) = k e^{2 x} - \frac{1}{2}$
- ب) $g (x) = k e^{2 x} + \frac{1}{2}$
- ج) $g (x) = k e^{2 x + 1}$
9. ما حلول المعادلة $y + 3 y^{'} = 2$ على $R$ ؟
- أ) $g (x) = k e^{- \frac{1}{3} x} - 2$
- ب) $g (x) = k e^{- \frac{1}{3} x} + 2$
- ج) $g (x) = k e^{- 3 x} + 2$
10. ما حلول المعادلة $2 y^{'} = y - 1$ على $R$ ؟
- أ) $g (x) = k e^{\frac{1}{2} x} - 1$
- ب) $g (x) = k e^{2 x} + 1$
- ج) $g (x) = k e^{\frac{1}{2} x} + 1$
11. في المعادلة $y^{'} = a y + b$ مع $a \neq 0$ ، هل التابع الثابت $x \mapsto - \frac{b}{a}$ حلٌّ لها؟
- أ)لا، لأنّ التوابع الثابتة مشتقّها صفر ولا تحقّق معادلةً تفاضليّة
- ب)نعم، وهو يقابل $k = 0$ في صيغة الحلول
- ج)نعم، لكنّه ليس من عائلة الحلول لأنّه لا يحوي أُسّيّاً
12. لحلّ المعادلة $y^{'} + 3 y = 2 e^{- x}$ ، هل تكفي المبرهنة $11$ ؟
- أ)لا، لأنّ الطرف الأيمن ليس ثابتاً
- ب)نعم، بوضع $b = 2$ و $a = - 3$
- ج)نعم، لأنّ $2 e^{- x}$ أُسّيّ والمبرهنة تخصّ التوابع الأُسّيّة

سلّم التصحيح

1. أ نعم، وهي واحدةٌ من ثلاث معادلاتٍ فقط في تمارين الكتاب تأتي مرتّبةً أصلاً. الوسيط $a = 3$ يُقرأ مباشرةً، و $k$ حرٌّ في $R$ .
2. ب نعم. ننقل $2 y$ فتصير $y^{'} = - 2 y$ ، والوسيط $- 2$ ينتقل إلى الأُسّ بإشارته.
3. ج نعم. القسمة على $3$ تعطي $y^{'} = \frac{5}{3} y$ ، والوسيط هو الكسر كاملاً، لا بسطه ولا مقامه.
4. ب نعم، وهذه المعادلة بعينها وردت في دورة $2017$ الدورة الثانية بأربعين درجة. حركتان: انقل فتنقلب الإشارة، ثمّ اقسم على $2$ .
5. أ نعم. الحلول $k e^{2 x}$ ، والشرط يعطي $k e^{0} = 1$ ، أي $k = 1$ . ولاحظ أنّ $e^{0} = 1$ هو ما يجعل هذه الحالة أسهل من غيرها.
6. ج نعم. الحلول $k e^{- 5 x}$ ، والشرط $k e^{10} = 1$ يعطي $k = e^{- 10}$ ، فيكون $f (x) = e^{- 5 x - 10} = e^{- 5 (x + 2)}$ . وهذه الصورة الأخيرة هي التي تُظهر النقطة مباشرة.
7. ج نعم. $f (x) = k e^{- 2 x}$ و $f^{'} (x) = - 2 k e^{- 2 x}$ ، فالشرط $- 2 k e^{4} = \frac{1}{2}$ يعطي $k = - \frac{1}{4} e^{- 4}$ . والإشارة السالبة تعني أنّ الخطّ كلّه تحت محور الفواصل.
8. أ نعم. $a = 2$ و $b = 1$ ، والحدّ الثابت $- \frac{b}{a} = - \frac{1}{2}$ . وأسرع تحقّقٍ: التابع الثابت $- \frac{1}{2}$ وحده يجب أن يحلّ المعادلة، و $2 (- \frac{1}{2}) + 1 = 0$ فعلاً.
9. ب نعم. الترتيب: $3 y^{'} = 2 - y$ ، ثمّ القسمة على $3$ تعطي $y^{'} = - \frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$ . وتحقّق بالتابع الثابت $2$ : مشتقّه صفر، و $- \frac{1}{3} (2) + \frac{2}{3} = 0$ .
10. ج نعم. القسمة على $2$ تعطي $y^{'} = \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}$ ، فـ $a = \frac{1}{2}$ و $b = - \frac{1}{2}$ ، والحدّ الثابت $- \frac{b}{a} = 1$ . وتحقّق بالتابع الثابت $1$ .
11. ب نعم، وهذه هي فكرة المبرهنة $11$ كلّها وإن لم يقلها الكتاب: الجواب العامّ هو حلٌّ خاصٌّ واحد، وهو الثابت، مضافاً إليه كلّ حلول المعادلة بلا $b$ .
12. أ نعم. المبرهنة $11$ مكتوبةٌ للحالة $b \in R$ ، أي عددٍ ثابت. هنا الطرف الأيمن تابعٌ للمتحوّل، فيلزم مبدأ التركيب: ابحث عن حلٍّ خاصٍّ أوّلاً، ثمّ أضف إليه حلول $y^{'} + 3 y = 0$ . وهذه بعينها المسألة $26$ من مسائل الوحدة.