الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: خواص التابع الأسّي

التابع الأسّي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. أيّاً يكن العددان الحقيقيّان $a$ و $b$ ، ما قيمة $e^{a + b}$ ؟
- أ) $e^{a} + e^{b}$
- ب) $e^{a b}$
- ج) $e^{a} \times e^{b}$
2. ما قيمة $e^{- a}$ ؟
- أ) $\frac{1}{e^{a}}$
- ب) $- e^{a}$
- ج) $e^{a} - 1$
3. ما قيمة $e^{0}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $1$
- ج) $e$
4. ما قيمة $e^{2 x}$ ؟
- أ) ${(e^{x})}^{2}$
- ب) $2 e^{x}$
- ج) $e^{x} + e^{x}$
5. بسّط كتابة العدد $A = e^{2 + \ln 8}$ .
- أ) $e^{2} + 8$
- ب) $e^{10}$
- ج) $8 e^{2}$
6. بسّط كتابة العدد $B = \frac{e}{e^{2 + \ln 3}}$ .
- أ) $\frac{e}{3}$
- ب) $\frac{1}{3 e}$
- ج) $3 e$
7. في حالة $a > 0$ وعددٍ حقيقيّ $x$ ، كيف يُعرَّف $a^{x}$ ؟
- أ) $a^{x} = e^{a \ln x}$
- ب) $a^{x} = e^{x \ln a}$
- ج) $a^{x} = x \ln a$
8. أيّ الكتابات الآتية بلا معنى؟
- أ) $2^{- π}$
- ب) $π^{π}$
- ج) $(- 2)^{π}$
9. حلّ المعادلة $e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$ .
- أ) $S = {0, \ln 4}$
- ب) $S = {1, 4}$
- ج) $S = {\ln 4}$
10. حلّ المتراجحة $e^{x} + 4 e^{- x} \leq 5$ .
- أ) $S =] - \infty, 0] \cup [\ln 4, + \infty [$
- ب) $S = [0, \ln 4]$
- ج) $S = [1, 4]$
11. بسّط كتابة العدد $I = \sqrt[6]{27} \times 3^{\frac{1}{2}}$ .
- أ) $3$
- ب) $3 \sqrt{3}$
- ج) $\sqrt[6]{81}$
12. أيّاً يكن $a > 0$ والعددان الحقيقيّان $u$ و $v$ ، ما قيمة $a^{u} \times a^{v}$ ؟
- أ) $a^{u v}$
- ب) $a^{2 (u + v)}$
- ج) $a^{u + v}$

سلّم التصحيح

1. ج نعم، وهذه هي الخاصّة الأساسيّة: الجمع في الأُسّ يصير ضرباً خارجه.
2. أ نعم، وهو الحالة $b = - a$ من القاعدة الأساسيّة: $e^{a} e^{- a} = e^{0} = 1$ .
3. ب نعم، و $x = 0$ هو الحلّ الوحيد للمعادلة $e^{x} = 1$ ، لأنّ التابع تقابل.
4. أ نعم. الأُسّ المضروب في عددٍ صحيح يقابل الرفع إلى ذلك العدد. وهذه بالضبط هي الملاحظة التي تفتح باب تغيير المجهول.
5. ج نعم: $e^{2} \times e^{\ln 8} = e^{2} \times 8$ .
6. ب نعم. المقام هو $e^{2} \times e^{\ln 3} = 3 e^{2}$ ، فالكسر يصير $\frac{e}{3 e^{2}} = \frac{1}{3 e}$ .
7. ب نعم، وهذا تعريف لا نتيجة. به يصير $2^{\sqrt{2}}$ عدداً له معنى.
8. ج نعم. التعريف يمرّ بـ $\ln a$ ، و $\ln (- 2)$ غير موجود، فالأساس يجب أن يكون موجباً تماماً. وهذا أوّل الأخطاء الثلاثة التي يحذّر منها الكتاب في آخر الوحدة.
9. أ نعم. بوضع $X = e^{x}$ تصير $X^{2} - 5 X + 4 = 0$ بجذرين $1$ و $4$ ، وكلاهما موجب، فيقبلان.
10. ب نعم. الضرب في $e^{x}$ لا يقلب المتراجحة لأنّه موجب، فتصير $e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 \leq 0$ ، ومنها $1 \leq e^{x} \leq 4$ .
11. أ نعم. الجذر السادس قوّةٌ بأُسّ $\frac{1}{6}$ ، و $27 = 3^{3}$ ، فيصير العامل الأوّل $3^{\frac{3}{6}} = 3^{\frac{1}{2}}$ . والجداء إذن $3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 3$ .
12. ج نعم. اكتب كلّ قوّة بصيغة $e^{u \ln a}$ ، فيصير الجداء $e^{(u + v) \ln a}$ .