دراسة التابع الأسّي

النهايتان عند الطرفين

نبدأ بالسلوك عند الطرفين، لأنّ كلّ ما بعده يحتاجه. والنتيجة تُقرأ من الشكل الذي رسمناه في الدرس الأوّل: الخطّ البياني يصعد بلا حدّ يميناً، ويقترب من محور الفواصل يساراً دون أن يبلغه.

انتبه: أشيع خطأ في هذا الدرس كلّه هو كتابة ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{e}^x=-\mathrm{\infty }$. إشارة المتحوّل لا تنتقل إلى قيمة التابع: مهما نزل $x$، يبقى $e^x$ موجباً تماماً، فهو يقترب من الصفر من فوقه ولا يصل إليه أبداً.

برهان النهاية الأولى قصيرٌ وذكيّ. الكتاب يقول: «رأينا عند دراسة التابع اللّوغاريتمي أنّ $\ln y\le y-1$ أيّاً يكن $y$ موجباً تماماً». نضع $y=e^x$، فيصير الطرف الأيسر $\ln \left(e^x\right)=x$، ونحصل على $x\le e^x-1$، أي $x+1\le e^x$. ولمّا كان $x+1$ يسعى إلى $+\mathrm{\infty }$، سعى ما هو أكبر منه إلى $+\mathrm{\infty }$ كذلك.

انتبه: قف عند كلمة «رأينا». المتراجحة $\ln y\le y-1$ لا توجد في نصّ دروس الوحدة السابقة. هي في قسم الأنشطة، صفحة $\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->4}$، بوصفها تمريناً مطلوباً منك حلّه: «ادرس التابع $x\mapsto \ln x+1-x$ واستنتج المتراجحة». فإن لم تكن قد حللته، فليس عندك أساسٌ لهذا البرهان. احفظها، فهي تعود كثيراً.

أمّا النهاية الثانية فتُردّ إلى الأولى بحيلةٍ صارت مألوفة: نضع $u=-x$، فإذا سعى $x$ إلى $-\mathrm{\infty }$ سعى $u$ إلى $+\mathrm{\infty }$. وبقاعدة المقلوب $e^{-u}=\frac{1}{e^u}$ من الدرس الثاني نكتب:

تابعٌ يساوي مشتقّه

قبل الاشتقاق يضع الكتاب فقرةً لم نرها في الوحدة السابقة، عنوانها «تمهيد»، بخطّ المبرهنات نفسه وبرمزها نفسه، لكن بلا رقم. مضمونها نهايةٌ واحدة، وهي مفتاح كلّ ما يأتي.

البرهان في ثلاث حركات. نضع $u(x)=e^x-1$، فتكون ${\lim }_{x\to 0}u(x)=e^0-1=0$. ثمّ من $u=e^x-1$ يتبع $e^x=1+u$، ومنه $x=\ln (1+u)$. فيصير الكسر:

والوحدة السابقة أعطتنا ${\lim }_{u\to 0}\frac{u}{\ln (1+u)}=1$. فبمبرهنة نهاية التابع المركّب، وهي من الوحدة الثانية ويسمّيها الكتاب باسمها هنا، تكون النهاية المطلوبة $1$.

انتبه: هذا البرهان يقف على ركيزتين لم يبنِهما الكتاب. الأولى: استمرار التابع الأسّي عند الصفر، والكتاب يكتب صراحةً «نقبل أنّ»، أي يضعها وضعاً. وهي ليست بريئة، لأنّ المبرهنة التالية مباشرةً تثبت أنّ التابع اشتقاقيّ في كلّ مكان، والاشتقاق يستلزم الاستمرار: فالكتاب يفترض الأضعف ليبرهن الأقوى. الثانية: النهاية ${\lim }_{u\to 0}\frac{u}{\ln (1+u)}=1$ مطبوعةٌ في الوحدة السابقة، صفحة $\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->8}$، في إطار نتائج بلا أيّ برهان. اعرف أين تقف قدماك.

اشتقاق $e^{u(x)}$، وشرطٌ غائبٌ عن قصد

ماذا لو كان في الأُسّ تابعٌ كامل لا مجرّد $x$؟ الكتاب يمهّد بجملةٍ واحدة يسهل تخطّيها: «لمّا كان $\exp$ معرّفاً على $\mathbb{R}$، كانت مجموعة تعريف $x\mapsto e^{u(x)}$ هي نفسها مجموعة تعريف $u$». هذه الجملة هي كلّ الفرق عن الوحدة السابقة، وهي مكتوبةٌ مرّةً واحدة وبلا لون.

تذكّر: قارن هذه المبرهنة بنظيرتها في الوحدة السابقة، صفحة $\mathrm{1<!--\; -->4<!--\; -->7}$: هناك كان الشرط «$u$ اشتقاقيّاً **وموجباً تماماً**»، وكانت تلك هي العبارة الزرقاء الوحيدة في تلك المبرهنة، لأنّ الطلّاب يسقطونها. هنا لا يوجد شرطٌ يقابلها، وجسم المبرهنة بلا أيّ لون. السبب في جملة التمهيد أعلاه: $\ln$ يحتاج مدخلاً موجباً، و $\exp$ لا يحتاج شيئاً لأنّه معرّفٌ على $\mathbb{R}$ كلّه.

انتبه: الفخّ هنا في اتّجاهين، وكلاهما يكلّف درجات. الأوّل: نقل الشرط $u>0$ من قاعدة اللّوغاريتم إلى قاعدة الأُسّي، فيضيع الوقت في بحثٍ عن مجموعة تعريفٍ هي $\mathbb{R}$ كلّه. والثاني، وهو الأخطر: كتابة ${\left(e^u\right)}^{\mathrm{\prime }}=e^u$ بلا العامل $u^{\mathrm{\prime }}$. القاعدة «الأُسّي مشتقّه نفسه» صحيحةٌ عند $u(x)=x$ وحدها، لأنّ $u^{\mathrm{\prime }}(x)=1$ هناك.

أين يقع الخطّ البياني من مماساته

السؤال الذي يطرحه الكتاب في هذا الموضع سؤالٌ هندسيّ: كيف يتوضّع الخطّ البياني $C$ للتابع $x\mapsto e^x$ بالنسبة إلى مماساته؟ ولنجيب نحتاج أوّلاً معادلة المماس في نقطةٍ عامّة $M(m,e^m)$. الميل هو $f^{\mathrm{\prime }}(m)=e^m$ بحسب المبرهنة $5$، والباقي هو صيغة المماس المعروفة.

ولدراسة الوضع نتّبع الطريقة التي لا تتغيّر: ندرس إشارة الفرق. نضع $\phi (x)=e^x-e^m(x-m+1)$، فيكون ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x-e^m$. وإشارة هذا الفرق هي إشارة $x-m$، لأنّ التابع الأسّي متزايدٌ تماماً كما رأينا في الدرس الأوّل.

اقرأ الجدول: أصغر قيمةٍ لـ $\phi$ هي $\phi (m)=0$، وهي مبلوغةٌ عند $x=m$ وحدها. إذن $\phi (x)>0$ عند كلّ $x\mathrm{\ne }m$، أي إنّ $e^x$ أكبر من ارتفاع المماس في كلّ مكانٍ عدا نقطة التماس. والنقطة $M$ كانت أيّ نقطةٍ من الخطّ، فالنتيجة تعمّ كلّ المماسات.

تذكّر: هذه الخاصّة اسمها «التحدّب»، والكتاب لا يذكر الاسم ولا يستعمل المشتق الثاني في نصّ الدرس. نذكره لك مرّةً واحدة لأنّك ستقابله، ولأنّك برهنته للتوّ. وفي الوحدة السابقة الحال معكوسة تماماً: خطّ اللّوغاريتم يقع تحت كلّ مماساته، وذلك مكتوبٌ هناك في قسم الأنشطة صفحة $\mathrm{1<!--\; -->5<!--\; -->2}$، لا في نصّ الدرس. التابعان متعاكسان، والوضعان متعاكسان.

دراسةٌ كاملة، من النهايات إلى الرسم

المثال الأخير في الدرس هو نموذج السؤال الكبير في البكالوريا: تابعٌ من النمط $e^{u(x)}$، ويُطلب درس تغيّراته ورسم خطّه البياني. تابعنا هو $f(x)=\exp \left(\frac{x}{x^2+1}\right)$، وسنمشي فيه الخطوات بالترتيب نفسه الذي يمشيه سلّم التصحيح.

انتبه: العددان $1$ عند طرفَي السطر الأخير ليسا قيمتين للتابع، بل نهايتين: التابع يقترب منهما عند $\pm \mathrm{\infty }$ ولا يبلغهما هناك. قراءة الطرف على أنّه قيمةٌ مبلوغة خطأٌ متكرّر، والجدول لا يميّزها بشيء. ولا تقلب هذا إلى الخطأ المعاكس: عند $x=0$ يكون $u(0)=0$ و $f(0)=e^0=1$ بالضبط، فالخطّ البياني يقطع المستقيم $d$ هناك ويعبر من تحته إلى فوقه. المقارب ليس سياجاً لا يُتخطّى، بل وصفٌ للسلوك عند الطرفين وحدهما.

تذكّر: وزن هذا الشكل من الأسئلة في البكالوريا هو الأعلى في الوحدة: المسألة الثانية في دورة $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->6}$ كانت دراسة تابعٍ أسّيّ بمئة درجة، وسلّم التصحيح يوزّعها على النهايات والمشتق والجدول والمقارب والرسم، خمس درجات هنا وخمس هناك. من يمشي الخطوات بالترتيب يجمع الدرجات حتّى لو تعثّر في واحدة.