الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: دراسة التابع الأسّي

التابع الأسّي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. ما قيمة $\lim_{x \to - \infty} e^{- x}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $- \infty$
- ج) $+ \infty$
2. ما قيمة $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x}$ ؟
- أ) $2$
- ب) $1$
- ج) $0$
3. ما مشتقّ التابع $f (x) = e^{x^{2}}$ ؟
- أ) $e^{x^{2}}$
- ب) $2 x e^{x^{2}}$
- ج) $x^{2} e^{x^{2} - 1}$
4. ليكن $f (x) = e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$ . ما $f^{'} (x)$ ؟
- أ) $e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$
- ب) $- 2 x e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$
- ج) $(\frac{1}{2} - x^{2}) e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$
5. لنفس التابع $f (x) = e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$ : ما نهايتاه عند $\pm \infty$ ، وما معادلة المقارب؟
- أ)النهايتان $0$ ، والمقارب $y = 0$
- ب)النهايتان $1$ ، والمقارب $y = 1$
- ج)النهايتان $- \infty$ ، ولا مقارب أفقيّ
6. ولنفسه أيضاً: أين يبلغ $f$ قيمته الحدّية، وكم تساوي؟
- أ)قيمة عظمى عند $x = 0$ تساوي $\frac{1}{2}$
- ب)لا قيمة حدّية، لأنّ $f^{'}$ لا ينعدم
- ج)قيمة عظمى عند $x = 0$ تساوي $\sqrt{e}$
7. ولنفسه: ما $f^{''} (x)$ ، علماً أنّ $f^{'} (x) = - 2 x e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$ ؟
- أ) $(4 x^{2} - 2) e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$
- ب) $- 2 e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$
- ج) $4 x^{2} e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$
8. ولنفسه: عند أيّ فاصلةٍ ينعدم $f^{''} (x)$ ؟
- أ) $x = 0$
- ب) $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
- ج) $x = \pm \frac{1}{2}$
9. ولنفسه: ما معادلة المماس $d$ للخطّ $C$ في النقطة التي ينعدم فيها $f^{'} (x)$ ؟
- أ) $y = \sqrt{e} x + \sqrt{e}$
- ب) $y = x + \sqrt{e}$
- ج) $y = \sqrt{e}$
10. أين يقع الخطّ البياني للتابع $x \mapsto e^{x}$ بالنسبة إلى مماساته؟
- أ)فوق كلّ مماساته، وهذا يصحّ لكلّ تابعٍ من النمط $e^{u (x)}$
- ب)تحت كلّ مماساته
- ج)فوق كلّ مماساته، عدا نقطة التماس نفسها
11. ليكن $f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ و $g (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ . ما $f^{'} (x)$ ؟
- أ) $f^{'} (x) = f (x)$
- ب) $f^{'} (x) = g (x)$
- ج) $f^{'} (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) \cdot (- 1)$
12. ولنفس التابعين، وليكن $h = \frac{g}{f}$ . ما $h^{'}$ ؟
- أ) $h^{'} = \frac{1}{f^{2}}$
- ب) $h^{'} = \frac{g^{'}}{f^{'}} = \frac{f}{g}$
- ج) $h^{'} = \frac{f^{2} + g^{2}}{f^{2}}$

سلّم التصحيح

1. ج نعم. ضع $u = - x$ : إذا سعى $x$ إلى $- \infty$ سعى $u$ إلى $+ \infty$ ، ونهاية $e^{u}$ هناك هي $+ \infty$ بحسب المبرهنة $4$ .
2. أ نعم. اضرب واقسم على $2$ : $\frac{e^{2 x} - 1}{x} = 2 \times \frac{e^{2 x} - 1}{2 x}$ ، والكسر الثاني هو التمهيد نفسه مع $t = 2 x$ ، ونهايته $1$ .
3. ب نعم. $u (x) = x^{2}$ و $u^{'} (x) = 2 x$ ، فيُكتب $2 x$ عاملاً أمام الأُسّي، لا داخله.
4. ب نعم. $u (x) = \frac{1}{2} - x^{2}$ ومشتقّه $- 2 x$ . ولاحظ أنّ إشارة $f^{'}$ هي إشارة $- 2 x$ وحدها، لأنّ الأُسّي موجبٌ دائماً.
5. أ نعم. الأُسّ $\frac{1}{2} - x^{2}$ يسعى إلى $- \infty$ في الجهتين، ونهاية $e^{u}$ عند $u \to - \infty$ هي الصفر. فمحور الفواصل مقاربٌ أفقيّ في الجهتين.
6. ج نعم. $f^{'}$ يوافق إشارة $- 2 x$ ، فهو موجبٌ قبل الصفر وسالبٌ بعده، والقيمة هي $e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \approx 1.6487$ .
7. أ نعم. بقانون الجداء $f^{''} = - 2 e^{u} + (- 2 x) (- 2 x) e^{u} = (4 x^{2} - 2) e^{u}$ مع $u = \frac{1}{2} - x^{2}$ .
8. ب نعم. $f^{''} (x) = (4 x^{2} - 2) e^{\frac{1}{2} - x^{2}}$ ، والأُسّي لا ينعدم، فيبقى $4 x^{2} = 2$ ، أي $x^{2} = \frac{1}{2}$ . وعند هاتين الفاصلتين يكون $f = e^{0} = 1$ بالضبط.
9. ج نعم. $f^{'} (0) = 0$ و $f (0) = \sqrt{e}$ ، فالمماس مستقيمٌ أفقيّ ارتفاعه $\sqrt{e}$ . كلّ مماسٍ في نقطةٍ حدّية يوازي محور الفواصل.
10. ج نعم. الفرق $φ (x) = e^{x} - e^{m} (x - m + 1)$ قيمته الصغرى $0$ عند $x = m$ وحدها، وهو موجبٌ تماماً في كلّ ما عداها.
11. ب نعم. ${(e^{- x})}^{'} = - e^{- x}$ ، فيصير $f^{'} (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ ، وهو $g (x)$ بالضبط. وبالمثل $g^{'} = f$ .
12. أ نعم. بقانون القسمة $h^{'} = \frac{g^{'} f - g f^{'}}{f^{2}} = \frac{f^{2} - g^{2}}{f^{2}}$ ، والبسط يساوي $1$ بالضبط لأنّ $f^{2} - g^{2} = (f - g) (f + g) = e^{- x} \times e^{x} = 1$ .