الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: دراسة التوابع الأسّية بالأساس a

التابع الأسّي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. أيّاً كان $a$ موجباً تماماً، بماذا يساوي $a^{x}$ ؟
- أ) $e^{a \ln x}$
- ب) $e^{x \ln a}$
- ج) $e^{x} \cdot \ln a$
2. بسّط كتابة العدد $3^{- \frac{1}{\ln 3}}$ .
- أ) $\frac{1}{e}$
- ب) $e$
- ج) $- \frac{1}{3}$
3. ما مشتقّ التابع $\exp_{a} : x \mapsto a^{x}$ ؟
- أ) $\exp_{a}^{'} = \exp_{a}$
- ب) $\exp_{a}^{'} = x a^{x - 1}$
- ج) $\exp_{a}^{'} = (\ln a) \exp_{a}$
4. التابع $x \mapsto {(\frac{1}{2})}^{x}$ على $R$ :
- أ)متناقصٌ تماماً
- ب)متزايدٌ تماماً
- ج)سالبٌ، لأنّ $\ln \frac{1}{2}$ سالب
5. ما قيمة $\lim_{x \to - \infty} {(\frac{1}{2})}^{x}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج) $1$
6. حلّ المتراجحة $3^{x} > 4$ في $R$ .
- أ) $x > 4$
- ب) $x > \frac{4}{3}$
- ج) $x > \frac{\ln 4}{\ln 3}$
7. حلّ المتراجحة ${(\frac{1}{3})}^{x} > 4$ في $R$ .
- أ) $x > \frac{\ln 4}{\ln 3}$
- ب) $x > - \frac{\ln 4}{\ln 3}$
- ج) $x < - \frac{\ln 4}{\ln 3}$
8. حلّ المعادلة $7^{x - 1} = 3^{x}$ في $R$ .
- أ)لا حلّ، لأنّ $x - 1 = x$ مستحيلة
- ب) $x = \frac{\ln 7}{\ln 7 - \ln 3}$
- ج) $x = \frac{\ln 7}{\ln 3}$
9. ما مشتقّ التابع $f (x) = 3^{x^{2}}$ ؟
- أ) $f^{'} (x) = 2 x (\ln 3) 3^{x^{2}}$
- ب) $f^{'} (x) = 2 x 3^{x^{2}}$
- ج) $f^{'} (x) = x^{2} (\ln 3) 3^{x^{2} - 1}$
10. حلّ المعادلة $4^{x} + 2^{x + 1} - 3 = 0$ في $R$ .
- أ) $x = 1$ أو $x = - 3$
- ب) $x = 0$ أو $x = \log_{2} (- 3)$
- ج) $x = 0$
11. لماذا تستثني المبرهنة $9$ الحالة $a = 1$ ؟
- أ)لأنّ $\exp_{1}$ تابعٌ ثابت، فلا رتابة تامّة له
- ب)لأنّ $1^{x}$ غير معرّف
- ج)لأنّ صيغة المشتق تصير خاطئة عند $a = 1$
12. خطّا التابعين $x \mapsto a^{x}$ و $x \mapsto {(\frac{1}{a})}^{x}$ متناظران بالنسبة إلى:
- أ)المستقيم $y = x$
- ب)محور التراتيب
- ج)مبدأ المعلم

سلّم التصحيح

1. ب نعم، وهو تعريف الدرس الثاني على الصفحة $170$ . تحقّق بالحالة $a = e$ : يصير $e^{x \ln e} = e^{x}$ ، أي التابع الأسّي نفسه.
2. أ نعم. اكتبه $e^{- \frac{\ln 3}{\ln 3}} = e^{- 1}$ . وهذا السؤال بعينه ورد في دورة $2023$ الدورة الثانية بعشرين درجة، مع $5^{\frac{1}{\ln 5}} = e$ ، وجداؤهما $1$ .
3. ج نعم. اكتب $a^{x} = e^{x \ln a}$ ، فالمشتق الداخلي هو الثابت $\ln a$ . وهذه هي المبرهنة $9$ ، وهي المبرهنة الوحيدة في هذا الدرس.
4. أ نعم. الأساس $\frac{1}{2}$ أصغر من الواحد، فـ $\ln \frac{1}{2} < 0$ ، والمشتق $(\ln \frac{1}{2}) {(\frac{1}{2})}^{x}$ سالبٌ تماماً لأنّ العامل الثاني موجبٌ دائماً.
5. ب نعم. ضع $X = x \ln \frac{1}{2}$ : جداءُ سالبٍ في سالبٍ يسعى إلى $+ \infty$ ، ونهاية $e^{X}$ هناك هي $+ \infty$ . أو ببساطة ${(\frac{1}{2})}^{x} = 2^{- x}$ .
6. ج نعم. خذ اللّوغاريتم للطرفين: $x \ln 3 > \ln 4$ ، ثمّ اقسم على $\ln 3$ وهو موجبٌ لأنّ $3 > 1$ ، فلا ينقلب الاتّجاه.
7. ج نعم. اللّوغاريتم يعطي $x \ln \frac{1}{3} > \ln 4$ ، و $\ln \frac{1}{3} = - \ln 3 < 0$ ، فالقسمة عليه تقلب الاتّجاه. ولاحظ أنّ الجواب هو الجواب السابق معكوساً في الإشارة وفي الاتّجاه معاً.
8. ب نعم، وقيمته $2.2966$ تقريباً. اللّوغاريتم يعطي $(x - 1) \ln 7 = x \ln 3$ ، فنجمع حدود $x$ في طرف: $x (\ln 7 - \ln 3) = \ln 7$ .
9. أ نعم. اكتبه $e^{x^{2} \ln 3}$ ، فالمشتق الداخلي هو $2 x \ln 3$ . عاملان يخرجان معاً: $2 x$ من الأُسّ، و $\ln 3$ من الأساس.
10. ج نعم. لاحظ أوّلاً أنّ $4^{x} = {(2^{x})}^{2}$ و $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ . فبوضع $t = 2^{x}$ تصير $t^{2} + 2 t - 3 = 0$ بجذرين $1$ و $- 3$ ، والسالب مرفوض، فيبقى $2^{x} = 1$ .
11. أ نعم. $1^{x} = 1$ عند كلّ $x$ . ولاحظ أنّ صيغة الاشتقاق نفسها تبقى صحيحة عند $a = 1$ ، إذ تعطي مشتقّاً معدوماً؛ الذي يسقط هو النتيجة عن الرتابة، لا الصيغة. والكتاب يضع الشرط في المقدّمة ولا يقول ذلك.
12. ب نعم، والبرهان سطر: $a^{x} = e^{x \ln a} = e^{(- x) \ln \frac{1}{a}} = {(\frac{1}{a})}^{- x}$ . فالارتفاع نفسه يظهر عند الفاصلة المعاكسة، وهذا هو التناظر بالنسبة إلى محور التراتيب.