الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: استعمال العدد العقديّ الممثّل لشعاع

تطبيقات الأعداد العقديّة في الهندسة . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

  1. 1. النقطتان A و B يمثّلهما zA=−1+i و zB=2+i. ما AB؟

    • أ)−3
    • ب)5−2
    • ج)3

  2. 2. ما العدد العقدي الممثّل للشعاع AB→؟

    • أ)zA−zB
    • ب)zA+zB
    • ج)zB−zA

  3. 3. بفرض zA≠zB، ماذا يساوي قياس (u⃗,AB→)؟

    • أ)arg⁡(zB−zA)
    • ب)∣zB−zA∣
    • ج)arg⁡(zA−zB)

  4. 4. النقاط A و B و C و D تحقّق zA≠zB و zC≠zD. ماذا يساوي قياس (AB→,CD→)؟

    • أ)arg⁡(zB−zAzD−zC)
    • ب)arg⁡(zD−zCzB−zA)
    • ج)arg⁡(zD−zC)⋅arg⁡(zB−zA)

  5. 5. ماذا تساوي طويلة هذا الكسر؟

    zD−zCzB−zA
    • أ)ABCD
    • ب)CD−AB
    • ج)CDAB

  6. 6. النقاط A و B و C متباينة، والكسر zC−zAzB−zA عدد حقيقي غير معدوم. ماذا نستنتج؟

    • أ)المثلّث ABC قائم في A
    • ب)النقاط الثلاث على استقامة واحدة
    • ج)AC=AB

  7. 7. المستقيمان (AB) و (CD) متعامدان إذا كان الكسر zD−zCzB−zA:

    • أ)عدداً حقيقياً
    • ب)طويلته تساوي 1
    • ج)عدداً تخيّلياً بحتاً

  8. 8. في تمرين الكتاب a=1+34i و b=2−54i و c=3+74i، ووجدنا الكسر الآتي. ما نوع المثلّث ABC؟

    c−ab−a=i
    • أ)قائم ومتساوي الساقين في A
    • ب)متساوي الساقين في A لا أكثر
    • ج)قائم في B

  9. 9. في مثال الكتاب a=−2 و b=2 و c=−1+i و d=1−3i، ووجدنا الكسر الآتي. ما نوع المثلّث BCD؟

    d−bc−b=i
    • أ)قائم ومتساوي الساقين في B
    • ب)متساوي الأضلاع
    • ج)قائم في B وأضلاعه مختلفة الأطوال

  10. 10. في المثال نفسه، وبالأعداد نفسها، وجدنا الكسر الآتي. ماذا نستنتج عن المثلّث ACD؟

    d−ac−a=−3i
    • أ)قائم ومتساوي الساقين في A
    • ب)قائم في A مع AD=3 AC
    • ج)النقاط A و C و D على استقامة واحدة

  11. 11. ما مجموعة النقاط M(z) التي تحقّق ∣z−1∣=∣z−3−2i∣؟

    • أ)محور القطعة المستقيمة [AB] حيث A(1) و B(3+2i)
    • ب)الدائرة التي مركزها 1 ونصف قطرها 3+2i
    • ج)المستقيم (AB)

  12. 12. ما مركز الدائرة التي معادلتها الآتية؟

    ∣z+2−i∣=3
    • أ)−2+i
    • ب)2−i
    • ج)3

  13. 13. في تمرين الكتاب Ω تمثّلها −1+2i والنقطة A تمثّلها 2−2i. ما ΩA؟

    • أ)7
    • ب)7
    • ج)5

  14. 14. النقطة E منتصف [AB]، حيث a=2−2i و b=−1+7i. ما العدد الممثّل لـ E؟

    • أ)1+5i
    • ب)12+52i
    • ج)32−92i

  15. 15. في تمرين الكتاب وجدنا zB−zA=zC−zD. ما طبيعة الرباعي ABCD؟

    • أ)مربّع
    • ب)متوازي أضلاع
    • ج)شبه منحرف لا أكثر

  16. 16. في تمرين الكتاب a=−1+i و b=2+i و c=−12−12i، وحسبنا الكسر الآتي. هل المثلّث ABC قائم في C؟

    a−cb−c=2+9i17
    • أ)لا، لأنّ الكسر ليس تخيّلياً بحتاً
    • ب)نعم، لأنّ الجزء التخيلي أكبر من الجزء الحقيقي
    • ج)لا يمكن الحكم قبل رسم الشكل

سلّم التصحيح

  1. 1. ج صحيح. zB−zA=3، وطويلته 3، وهو طول القطعة [AB].
  2. 2. ج صحيح. النهاية أوّلاً ثمّ البداية، ومنه AB=∣zB−zA∣.
  3. 3. أ صحيح. العدد الممثّل للشعاع هو zB−zA، وزاويته هي زاوية الشعاع مع u⃗.
  4. 4. ب صحيح. المقام للشعاع الأوّل والبسط للثاني، لأنّ الزاويتين تُطرحان.
  5. 5. ج صحيح. طويلة خارج القسمة هي خارج قسمة الطويلتين، أي نسبة الطولين.
  6. 6. ب صحيح. زاوية الكسر 0 أو π، فالشعاعان AB→ و AC→ مرتبطان خطّياً وينطلقان من النقطة نفسها.
  7. 7. ج صحيح. زاويته عندئذ π2 أو −π2، وهي الزاوية بين الشعاعين.
  8. 8. أ صحيح. الطويلة 1 تعطي AC=AB، والزاوية π2 تعطي الزاوية القائمة في A.
  9. 9. أ صحيح. الطويلة 1 تعطي BD=BC، والزاوية π2 تعطي القائمة عند B.
  10. 10. ب صحيح. الزاوية −π2 تعطي القائمة عند A، والطويلة 3 تعطي نسبة الطولين.
  11. 11. أ صحيح. الشرط يكافئ MA=MB، ومجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفي قطعة هي محورها.
  12. 12. أ صحيح. z+2−i=z−(−2+i)، فالمركز −2+i ونصف القطر 3.
  13. 13. ج صحيح. 2−2i−(−1+2i)=3−4i، وطويلته 9+16=5، فالنقطة على الدائرة التي نصف قطرها 5.
  14. 14. ب صحيح. a+b2=1+5i2، ومنه الجزآن 12 و 52.
  15. 15. ب صحيح. المساواة تعني AB→=DC→، وهذا تعريف متوازي الأضلاع.
  16. 16. أ صحيح. الجزء الحقيقي 217 غير معدوم، فالزاوية عند C ليست قائمة. هذا فخّ مقصود في الكتاب.