الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: التكامل المحدّد وخواصّه

التكامل والتوابع الأصليّة . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. ليكن $F$ تابعاً أصليّاً للتابع المستمرّ $f$ على مجالٍ يحوي $a$ و $b$ . ما هو $\int_{a}^{b} f (x) d x$ بالتعريف؟
- أ) $F (a) - F (b)$
- ب)عددٌ يتغيّر بتغيّر التابع الأصليّ $F$ المختار
- ج) $F (b) - F (a)$
2. ما العلاقة بين $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ و $\int_{0}^{1} t^{2} d t$ ؟
- أ)مختلفان، لأنّ المتحوّلين مختلفان
- ب)الثاني يساوي الأوّل مضروباً بـ $t$
- ج)متساويان تماماً
3. ما قيمة $\int_{0}^{2} \frac{2}{x - 3} d x$ ؟
- أ) $- 2 \ln 3$
- ب) $2 \ln 3$
- ج)غير معرّف، لأنّ $\ln (x - 3)$ غير معرّفٍ على $[0, 2]$
4. علمنا أنّ $\int_{1}^{5} f = 12$ . ما قيمة $\int_{5}^{1} f$ ؟
- أ) $12$
- ب) $- 12$
- ج) $\frac{1}{12}$
5. بعلاقة شال، ما هو $\int_{0}^{5} f$ بدلالة تكاملات أخرى؟
- أ) $\int_{0}^{2} f \times \int_{2}^{5} f$
- ب) $\int_{0}^{2} f + \int_{2}^{5} f$
- ج) $\int_{0}^{2} f - \int_{2}^{5} f$
6. ما قيمة $\int_{0}^{2} ∣ x^{2} - 1 ∣ d x$ ؟
- أ) $\frac{4}{3}$
- ب) $2$
- ج) $\frac{2}{3}$
7. لحساب $\int_{0}^{π} x \sin x d x$ بالتجزئة، أيّ العاملين نجعله $u$ ، أي الذي يُشتقّ؟
- أ)العامل $x$
- ب)العامل $\sin x$
- ج)أيّهما، فالنتيجة واحدة
8. ما صيغة التكامل بالتجزئة؟
- أ) $\int_{a}^{b} u v^{'} = {[u v]}_{a}^{b} + \int_{a}^{b} u^{'} v$
- ب) $\int_{a}^{b} u v^{'} = {[u v]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v$
- ج) $\int_{a}^{b} u v^{'} = {[u^{'} v]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u v^{'}$
9. نكتب $1 = λ (x + 1) + μ (x - 2)$ لتفكيك $\frac{1}{(x + 1) (x - 2)}$ . بالتعويض $x = - 1$ ، أيّ ثابتٍ نحصل عليه؟
- أ)نحصل على $μ = - \frac{1}{3}$
- ب)نحصل على $λ = - \frac{1}{3}$
- ج)لا نحصل على شيء، لأنّ المقام ينعدم عند $- 1$
10. أردنا حساب $\int_{3}^{4} \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x - 2} d x$ . ما الخطوة الأولى؟
- أ)تعيين $λ$ و $μ$ من $x^{2} + 1 = λ (x + 1) + μ (x - 2)$
- ب)كتابة الجواب مباشرةً $\ln (x^{2} - x - 2)$
- ج)قسمة إقليديّة للبسط على المقام
11. كيف نجد تابعاً أصليّاً للتابع $f : x \mapsto \frac{2 x - 1}{(x + 2)^{2}}$ على $] - \infty, - 2 [$ ؟
- أ)بوضع $2 x - 1 = λ (x + 2) + μ (x + 2)$ وتعيين الثابتين
- ب)لا يمكن، فالحالة خارج ما درسناه
- ج)بكتابة $2 x - 1 = 2 (x + 2) - 5$ ، فيصير $f (x) = \frac{2}{x + 2} - \frac{5}{(x + 2)^{2}}$
12. ما قيمة $\int_{7}^{7} f$ لتابعٍ $f$ مستمرٍّ كيفما كان؟
- أ) $0$
- ب) $f (7)$
- ج)غير معرّف، لأنّ الحدّين متساويان

سلّم التصحيح

1. ج نعم، وهو ما يُختصر بالرمز ${[F (x)]}_{a}^{b}$ . لا مساحة ولا مجموع في التعريف، فرقُ قيمتين فقط.
2. ج نعم، وهذا معنى أنّ المتحوّل مقيَّد. ولهذا يسمح الكتاب بالكتابة المختصرة $\int_{0}^{1} f$ عند عدم الحاجة إلى الصيغة.
3. أ نعم. على $[0, 2]$ يكون $x - 3 < 0$ ، فالفرع هو $2 \ln (3 - x)$ ، والتعويض يعطي $2 \ln 1 - 2 \ln 3$ .
4. ب نعم. وهذه الخاصّة هي الوحيدة في الدرس التي لا يبرهنها الكتاب ولا يطبّقها في مثال، مع أنّها تُستعمل كثيراً.
5. ب نعم. والعدد $2$ ليس ملزماً بأن يقع بين الحدّين: المبرهنة تطلب فقط أن يكون من المجال.
6. ب نعم. الصفر الداخليّ هو $1$ ، فنقطع عنده بعلاقة شال، ثمّ نحسب كلّ قطعةٍ وحدها: $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ .
7. أ نعم. اشتقاق $x$ يعطي $1$ فيختفي كثير الحدود من التكامل الجديد، ومكاملة $\sin x$ تعطي $- \cos x$ وهي بالصعوبة نفسها.
8. ب نعم. ولاحظ حركة الشرطة: كانت على $v$ فصارت على $u$ . البرهان كلّه هو قاعدة اشتقاق الجداء مقروءةً بالمقلوب، مع المبرهنة $5$ .
9. أ نعم، والتبادل هو المفاجأة: التعويض بصفر القوس الأوّل يُلغي $λ$ ويترك $μ$ . فيبقى $1 = μ (- 1 - 2)$ .
10. ج نعم، الدرجتان متساويتان فالقسمة أوّلاً: $x^{2} + 1 = (x^{2} - x - 2) + x + 3$ . ثمّ يعود الباقي $\frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$ إلى الحالة الأولى.
11. ج نعم، والحدّان سطران جاهزان من الدرس السابق: $\frac{u^{'}}{u}$ و $u^{'} u^{n}$ مع $n = - 2$ . فالجواب $2 \ln (- x - 2) + \frac{5}{x + 2}$ ، والفرع المأخوذ هو $\ln (- u)$ لأنّ $x + 2 < 0$ هناك.
12. أ نعم، ولا حاجة إلى معرفة $f$ . بالتعريف هو $F (7) - F (7)$ . والكتاب لا يكتب هذه النتيجة في أيّ سطرٍ من هذا الدرس، مع أنّها تخرج من الخاصّة ③ بوضع $b = a$ .