الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: بعض قواعد حساب التوابع الأصليّة

التكامل والتوابع الأصليّة . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto x^{5}$ على $R$ هو:
- أ) $\frac{x^{6}}{6}$
- ب) $5 x^{4}$
- ج) $\frac{x^{6}}{5}$
2. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ على المجال $] - \infty, 0 [$ هو:
- أ) $\ln x$
- ب) $- \ln x$
- ج) $\ln (- x)$
3. لماذا لا يعطي سطر القوى تابعاً أصليّاً للتابع $x \mapsto x^{- 1}$ ؟
- أ)لأنّ الأُسّ سالب، وسطر القوى للأُسس الموجبة وحدها
- ب)لأنّ المقام $n + 1$ يصير صفراً عند $n = - 1$
- ج)لأنّ $x^{- 1}$ غير معرّفٍ عند الصفر
4. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto \sqrt{x}$ على المجال $] 0, + \infty [$ هو:
- أ) $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
- ب) $\frac{2}{3} x \sqrt{x}$
- ج) $2 x \sqrt{x}$
5. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto e^{- 3 x}$ على $R$ هو:
- أ) $- \frac{1}{3} e^{- 3 x}$
- ب) $e^{- 3 x}$
- ج) $- 3 e^{- 3 x}$
6. على أيّ مجالٍ يعطي الجدول $F : x \mapsto \tan x$ تابعاً أصليّاً للتابع $f : x \mapsto \frac{1}{\cos^{2} x}$ ؟
- أ)على $R$ كلّها
- ب)على $] 0, + \infty [$
- ج)على كلّ مجالٍ من الشكل $] - \frac{π}{2} + π k, \frac{π}{2} + π k [$
7. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto 3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4}$ على $R$ هو:
- أ) $\frac{{(x^{3} + 1)}^{5}}{4}$
- ب) $x^{3} {(x^{3} + 1)}^{5}$
- ج) $\frac{{(x^{3} + 1)}^{5}}{5}$
8. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ على $R$ هو:
- أ) $\ln (x^{2} + 1)$
- ب) $\frac{x^{2}}{\ln (x^{2} + 1)}$
- ج) $\ln (2 x)$
9. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto x e^{x^{2}}$ على $R$ هو:
- أ) $e^{x^{2}}$
- ب) $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$
- ج) $\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}}$
10. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto 2 x \sin (x^{2})$ على $R$ هو:
- أ) $\cos (x^{2})$
- ب) $- \frac{\cos (x^{2})}{2}$
- ج) $- \cos (x^{2})$
11. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto \frac{2 x - 1}{\sqrt{x^{2} - x}}$ على المجال $] 1, + \infty [$ هو:
- أ) $2 \sqrt{x^{2} - x}$
- ب) $\sqrt{x^{2} - x}$
- ج) $\ln (x^{2} - x)$
12. تابعٌ أصليّ للتابع $f : x \mapsto \frac{x + 1}{x - 2}$ على المجال $] - \infty, 2 [$ هو:
- أ) $\ln (2 - x)$
- ب) $x + 3 \ln (2 - x)$
- ج) $x + 3 \ln (x - 2)$

سلّم التصحيح

1. أ نعم. نرفع الأُسّ واحداً ونقسم على الأُسّ الجديد. والتحقّق فوريّ: مشتقّ $\frac{x^{6}}{6}$ هو $\frac{6 x^{5}}{6} = x^{5}$ .
2. ج نعم. على $] - \infty, 0 [$ يكون $- x$ موجباً تماماً، والاشتقاق يعطي $\frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$ .
3. ب نعم، وهذا هو السبب الوحيد. القسمة على صفرٍ ممنوعة، ولذلك خُصّ هذا التابع بسطرٍ مستقلّ هو سطر اللوغاريتم.
4. ب نعم. نكتب $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ونطبّق سطر الأُسّ الحقيقيّ: $\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2} = \frac{2}{3} x^{3 / 2} = \frac{2}{3} x \sqrt{x}$ . والمجال $] 0, + \infty [$ هو بالضبط ما يشترطه ذلك السطر.
5. أ نعم. هذا السطر $g (a x + b)$ مع $a = - 3$ ، فنقسم على $a$ . والتحقّق: مشتقّ جوابك هو $- \frac{1}{3} \times (- 3) e^{- 3 x} = e^{- 3 x}$ .
6. ج نعم، وهي عائلة مجالاتٍ لا مجالٌ واحد. لاحظ الشرط الذي في الدرس الأوّل: $I$ يجب أن يكون مجالاً، فلا يجوز جمع فرعين في واحد.
7. ج نعم. نضع $u (x) = x^{3} + 1$ فيكون $u^{'} (x) = 3 x^{2}$ ، والتابع هو $u^{'} u^{4}$ تماماً، من دون حاجةٍ إلى ضبط معامل.
8. أ نعم. البسط $2 x$ هو مشتقّ المقام بالضبط، فالنمط $\frac{u^{'}}{u}$ . والمقام موجبٌ تماماً على $R$ ، فالفرع هو $\ln u$ .
9. ب نعم. نضع $u (x) = x^{2}$ فيكون $u^{'} (x) = 2 x$ ، ونكتب $f (x) = \frac{1}{2} u^{'} (x) e^{u (x)}$ . الضبط بعددٍ ثابت مسموح.
10. ج نعم. مع $u (x) = x^{2}$ يكون $u^{'} (x) = 2 x$ ، والتابع هو $u^{'} \sin u$ تماماً، وتابعه الأصليّ $- \cos u$ .
11. أ نعم. مع $u (x) = x^{2} - x$ يكون $u^{'} (x) = 2 x - 1$ ، فالنمط $\frac{u^{'}}{\sqrt{u}}$ . والشرط $u > 0$ محقّقٌ على $] 1, + \infty [$ لأنّ $u (x) = x (x - 1)$ .
12. ب نعم. القسمة تعطي $f (x) = 1 + \frac{3}{x - 2}$ . والمقام سالبٌ على $] - \infty, 2 [$ ، فالفرع المأخوذ هو $\ln (- u)$ أي $\ln (2 - x)$ .