الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: نهاية تابع مركّب

التوابع: النهايات والاستمرار . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. نريد حساب نهاية $f (x) = \sqrt{x^{2} - x + 1}$ عند $+ \infty$ . ما المتحوّل الجديد $X = h (x)$ الذي نضعه؟
- أ) $X = \sqrt{x}$
- ب) $X = x^{2}$
- ج) $X = x^{2} - x + 1$
2. عند حساب نهاية التابع المركّب $g (h (x))$ عند $a$ ، بماذا نبدأ؟
- أ)نبحث أوّلاً عن نهاية $g$ عند $a$
- ب)نبحث أوّلاً عن $b = \lim_{x \to a} h (x)$
- ج)نحسب $g (a)$ و $h (a)$ ثمّ نقارن
3. ما نهاية هذا التابع عند $+ \infty$ ؟
$f (x) = \sqrt{x^{2} - x + 1}$
- أ) $1$
- ب) $+ \infty$
- ج) $0$
4. التابع $f (x) = \frac{1}{\sqrt{3 x - 1}}$ معرّف على $] \frac{1}{3}, + \infty [$ . ما نهايته عندما تسعى $x$ إلى $\frac{1}{3}$ ؟
- أ) $0$
- ب) $3$
- ج) $+ \infty$
5. نضع $X = \frac{1}{x}$ . إلى أين يسعى $X$ حين تسعى $x$ إلى $+ \infty$ ؟
- أ)إلى $+ \infty$ أيضاً
- ب)إلى $0$ من اليسار
- ج)إلى $0$ من اليمين
6. ما نهاية هذا التابع عند $+ \infty$ ؟
$f (x) = x \sin \frac{1}{x}$
- أ) $1$
- ب) $0$
- ج) $+ \infty$
7. نحسب $\lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 5}$ بوضع $X = x^{2} + 5$ . ما العدد الوسيط $b$ الذي نسأل عنده التابع الخارجي؟
- أ) $b = 9$
- ب) $b = 2$
- ج) $b = 3$
8. لماذا لا تكفي قواعد العمليّات على النهايات لحساب نهاية $x \sin \frac{1}{x}$ عند $+ \infty$ ؟
- أ)لأنّ الجيب غير معرّف عند الصفر
- ب)لأنّ التابع غير معرّف عند $0$
- ج)لأنّ الجداء من الشكل $0 \times (+ \infty)$ ، وهذه إحدى صِيَغ عدم التعيين
9. بتغيير المتحوّل $X = \frac{1}{x}$ ، إلى أيّ دراسة تنتقل دراسة النهاية عند الصفر من اليسار؟
- أ)إلى دراسة النهاية عند $+ \infty$
- ب)إلى دراسة النهاية عند $- \infty$
- ج)إلى دراسة النهاية عند الصفر من اليمين
10. التابع $f$ اشتقاقي عند $a$ . ما قيمة $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ ؟
- أ) $f^{'} (a)$
- ب) $0$
- ج) $f (a)$
11. ما نهاية هذا التابع عند $+ \infty$ ؟
$f (x) = \cos (\frac{π x + 1}{x + 2})$
- أ) $- 1$
- ب) $1$
- ج)لا وجود لها، لأنّ جيب التمام متأرجح
12. التابع $f (x) = \sqrt{\frac{x + 3}{x - 5}}$ معرّف على $] 5, + \infty [$ . ما نهايته عند $5$ ؟
- أ) $0$
- ب) $+ \infty$
- ج) $1$
13. التابع $f (x) = \sqrt{\frac{- x + 1}{x^{2} + 1}}$ معرّف على $] - \infty, 1 [$ . ما نهايته عند $- \infty$ ؟
- أ) $1$
- ب) $0$
- ج) $+ \infty$
14. التابع $f (x) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{1 - x}}$ معرّف على $] - \infty, 1 [$ . ما نهايته عند $1$ ؟
- أ) $+ \infty$
- ب) $0$
- ج) $\sqrt{2}$
15. ما نهاية هذا التابع عند $+ \infty$ ؟
$f (x) = \sin (\frac{1}{\sqrt{x}})$
- أ) $1$
- ب) $0$
- ج)لا وجود لها، لأنّ الجيب متأرجح
16. التابع $f (x) = \cos^{2} (π \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}})$ معرّف على $] - \infty, - 1 [\cup] 1, + \infty [$ . ما نهايته عند $+ \infty$ ؟
- أ) $0$
- ب) $- 1$
- ج) $1$

سلّم التصحيح

1. ج صحيح. نضع $X = x^{2} - x + 1$ ، فيصير $f (x) = \sqrt{X}$ ، وهذا هو التفكيك الذي تحتاجه المبرهنة.
2. ب صحيح. الكتاب يكتب هذا الترتيب بلون مميّز: بدايةً $b$ ، ثمّ نهاية $g$ عند $b$ .
3. ب صحيح. المقدار الداخلي يسعى إلى $+ \infty$ ، و $\lim_{X \to + \infty} \sqrt{X} = + \infty$ .
4. ج صحيح. على هذا المجال يكون $X = 3 x - 1$ موجباً ويسعى إلى $0$ ، و $\lim_{X \to 0} \frac{1}{\sqrt{X}} = + \infty$ .
5. ج صحيح. وهذه أولى الطرق الأربع في كسر تغيير المتحوّل: من $+ \infty$ إلى الصفر من اليمين.
6. أ صحيح. بوضع $X = \frac{1}{x}$ يصير التابع $\frac{\sin X}{X}$ ، ونهايته عند الصفر هي $1$ .
7. أ صحيح. $b = \lim_{x \to 2} (x^{2} + 5) = 9$ ، ثمّ نسأل: كم $\sqrt{X}$ حين يسعى $X$ إلى $9$ ؟
8. ج صحيح. أحد العاملين يسعى إلى الصفر والآخر يكبر بلا حدّ، والجدول لا يعطي جواباً لهذه الصيغة. الحلّ تغيير المتحوّل.
9. ب صحيح. اليسار يعطي قيماً سالبة، ومقلوبها يمضي إلى $- \infty$ . هذه إحدى الطرق الأربع في كسر الدرس.
10. أ صحيح. بوضع $h (x) = x - a$ يصير هذا نهاية تابع مركّب، ونهايته هي العدد المشتقّ نفسه.
11. أ صحيح. المقدار الداخلي يسعى إلى $π$ لأنّ نسبة الحدّين الأكبرين هي $\frac{π x}{x}$ ، و $\cos π = - 1$ .
12. ب صحيح. المقدار الداخلي يسعى إلى $+ \infty$ على هذا المجال، و $\lim_{X \to + \infty} \sqrt{X} = + \infty$ .
13. ب صحيح. المقدار الداخلي يتصرّف مثل $\frac{- 1}{x}$ ويسعى إلى $0$ بقيم موجبة، و $\lim_{X \to 0} \sqrt{X} = 0$ .
14. أ صحيح. البسط يسعى إلى $2$ والمقام إلى $0$ بقيم موجبة، فالمقدار الداخلي يسعى إلى $+ \infty$ ومعه الجذر.
15. ب صحيح. المقدار الداخلي $\frac{1}{\sqrt{x}}$ يسعى إلى $0$ ، و $\lim_{X \to 0} \sin X = 0$ .
16. ج صحيح. ثلاث حلقات متتالية: الكسر يسعى إلى $1$ ، فالجذر إلى $1$ ، فالزاوية إلى $π$ ، و $(\cos π)^{2} = 1$ .