نهاية تابع عند اللّانهاية

ماذا يحدث بعيداً جدّاً

في الدروس السابقة كنّا نُعطي $x$ قيمة ونحسب $f(x)$. الآن نغيّر السؤال: لا نريد قيمة واحدة، بل نريد أن نعرف إلى أين تتّجه قيم $f(x)$ حين نمضي بـ $x$ بعيداً على محور الفواصل، من دون أن نتوقّف عند حدّ.

خذ التابع $f(x)=\frac{1}{x}$ وجرّب بنفسك. عند $x=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يكون $f(x)=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->1}$، وعند $x=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}$ يكون $f(x)=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->1}$، وعند $x=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0}$ يكون $f(x)=\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->0<!--\; -->1}$. القيم لا تبلغ الصفر أبداً، لكنّها تتجمّع حوله وتقترب منه كما نشاء. هذا بالضبط ما سنسمّيه نهاية.

ولكي يكون للسؤال معنى أصلاً، يجب أن يكون التابع معرّفاً بعيداً. نقول إنّ $f$ معرّف في جوار اللّانهاية الموجبة إذا كانت مجموعة تعريفه تحوي مجالاً من الشكل $]a,+\mathrm{\infty }[$، ونقول مثل ذلك في جوار اللّانهاية السالبة بمجال من الشكل $]-\mathrm{\infty },a[$.

تذكّر: $+\mathrm{\infty }$ ليس عدداً ولا نقطة على المحور، فلا نعوّضه في التابع. النهاية عند اللّانهاية وصفٌ لاتّجاه القيم، لا حسابُ قيمة.

النهاية المنتهية والمقارب الأفقي

لنعد إلى $\frac{1}{x}$. قلنا إنّ قيمه تتجمّع حول $0$، ونكتب ذلك ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}=0$. ونقرأ: نهاية التابع عند $+\mathrm{\infty }$ هي $0$.

الحالة العامّة هي هذه نفسها، بعدد آخر مكان الصفر. نقول إنّ نهاية $f$ عند $+\mathrm{\infty }$ هي العدد $\mathrm{\ell }$ إذا صارت قيم $f(x)$ قريبة من $\mathrm{\ell }$ وتجمّعت حوله، كلّما صارت $x$ كبيرة بما يكفي.

ولهذا الكلام ترجمة هندسيّة مباشرة. ارسم المستقيم الذي معادلته $y=\mathrm{\ell }$. قولنا إنّ القيم تتجمّع حول $\mathrm{\ell }$ يعني أنّ الخطّ البياني يلتصق بهذا المستقيم كلّما ذهبنا بعيداً. المستقيم اسمه المقارب الأفقي، والالتصاق يحدث بعيداً وحده، لا قرب المبدأ.

انتبه: معادلة المقارب الأفقي هي $y=\mathrm{\ell }$، لا $x=\mathrm{\ell }$. المقارب الأفقي مستقيم موازٍ لمحور الفواصل، فالثابت فيه هو $y$. الذي يُكتب $x=a$ هو المقارب الشاقولي، وهو موضوع درس آخر.

النهايات المرجعيّة

لا نبدأ من الصفر في كلّ مرّة. الكتاب يعطي قائمة قصيرة من النهايات نحفظها، ويُردّ إليها كلّ حساب لاحق. وكلّها من عائلة واحدة: مقلوب شيء يكبر بلا حدّ يصغر بلا حدّ.

انتبه: لا تنقل نتيجة $+\mathrm{\infty }$ إلى $-\mathrm{\infty }$ بلا فحص. في القوى الفرديّة والجذور والقيم المطلقة تنقلب الإشارة، أو يختفي التعريف أصلاً: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ لها نهاية عند $+\mathrm{\infty }$ وليس للسؤال عنها عند $-\mathrm{\infty }$ معنى. الطرفان يُحسبان كلٌّ على حدة.

وبهذه القائمة نحسب نهاية كثير من التوابع الكسريّة عند اللّانهاية. الحيلة واحدة: نُخرج الحدّ الأكبر من البسط ومن المقام، فيبقى داخل القوسين ما نعرف نهايته من القائمة أعلاه. أمّا الحالات التي لا تعطي عدداً منتهياً فلها درس خاصّ بها.

ليس لكلّ تابع نهاية

قد يظنّ المرء أنّ تابعاً محصوراً بين عددين لا بدّ أن يستقرّ في النهاية على قيمة. هذا غير صحيح، والكتاب يقف عنده وقفة خاصّة.

تابع الجيب $\sin$ يبقى دائماً بين $-1$ و $1$، ومع ذلك ليست له نهاية عند $+\mathrm{\infty }$. السبب أنّه لا يتجمّع حول أيّ عدد: مهما ابتعدنا يميناً عاد فبلغ $1$ ثمّ $-1$ ثمّ $1$ من جديد، فيبقى متأرجحاً بين قيمتين متباعدتين ولا يستقرّ قرب واحدة منهما.

انتبه: من كتب ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\sin x=0$ بحجّة أنّ التابع يتوسّط بين $-1$ و $1$ فقد أخطأ. الوسط الحسابي ليس نهاية. النهاية تعني أن تتجمّع القيم حول عدد وتبقى قربه، وقيم الجيب تغادر جوار الصفر مرّة بعد أخرى.

تذكّر: أن يكون التابع محصوراً شيء، وأن تكون له نهاية شيء آخر. التأرجح حالة قائمة بذاتها: لا نهاية منتهية، ولا $+\mathrm{\infty }$، ولا $-\mathrm{\infty }$.

فوق المقارب أم تحته

معرفة المقارب لا تكفي وحدها في الامتحان. يأتي بعدها دائماً سؤال الوضع النسبي: هل يقع الخطّ البياني فوق المقارب أم تحته، وعلى أيّ مجال.

والأداة واحدة وبسيطة: الفرق $f(x)-\mathrm{\ell }$. إذا كان موجباً على مجال، فقيم التابع هناك أكبر من $\mathrm{\ell }$، أي أنّ $C_f$ فوق $\mathrm{\Delta }$. وإذا كان سالباً فـ $C_f$ تحت $\mathrm{\Delta }$. وإذا انعدم عند قيمة، فالخطّ البياني يقطع مقاربه عندها فعلاً.

تذكّر: الترتيب ثابت: احسب النهاية، ثمّ اكتب معادلة المقارب، ثمّ ادرس إشارة $f(x)-\mathrm{\ell }$. الإشارة وحدها هي التي تقول فوق أم تحت، لا الشكل ولا الحدس.

انتبه: لا تقل إنّ الخطّ البياني لا يلمس مقاربه أبداً. الوضع يتبع إشارة الفرق، والإشارة قد تتغيّر: كلّما انعدم $f(x)-\mathrm{\ell }$ قطع $C_f$ المستقيم $\mathrm{\Delta }$. المقارب وصفٌ لما يحدث بعيداً، لا منعٌ لما يحدث قريباً.

مثال الكتاب كاملاً

نجمع الآن كلّ ما سبق في مثال واحد، وهو مثال الكتاب نفسه. اقرأ الخطوة، احسبها على ورقتك، ثمّ اكشف الجواب.

وبالحساب نفسه عند $-\mathrm{\infty }$ نجد العدد $2$ مرّة أخرى، فالمستقيم $y=2$ مقارب أفقي عند الطرفين معاً. هذا التساوي مسموح هنا لأنّ التابع كسر من كثيري حدود، بلا جذر وبلا قيمة مطلقة. مع الجذر أو القيمة المطلقة يُحسب كلّ طرف على حدة.

تذكّر: أوّل سطر في كلّ مسألة تحليل في البكالوريا هو نهايات التابع عند طرفي مجموعة التعريف. من أتقن هذا الدرس كسب هذه النقاط قبل أن يبدأ الباقي.