الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: نهاية تابع عند اللّانهاية

التوابع: النهايات والاستمرار . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

  1. 1. ما نهاية هذا التابع عند +∞؟

    f(x)=1x2
    • أ)1
    • ب)+∞
    • ج)0

  2. 2. ما معادلة المقارب الأفقي للخطّ البياني لهذا التابع في جوار +∞؟

    f(x)=4x−52x+3
    • أ)y=2
    • ب)x=2
    • ج)y=−53

  3. 3. ما نهاية هذا التابع عند −∞؟

    f(x)=1x
    • أ)0
    • ب)التابع غير معرّف في جوار −∞
    • ج)−∞

  4. 4. أيّ العبارات الآتية صحيحة عن تابع الجيب sin⁡ عند +∞؟

    • أ)نهايته 0، لأنّه محصور بين −1 و 1
    • ب)ليست له نهاية
    • ج)نهايته 1، لأنّها أكبر قيمة يبلغها

  5. 5. للخطّ البياني لتابع f مقارب أفقي معادلته y=5 عند +∞. ماذا نستنتج؟

    • أ)f(x) لا يساوي 5 أبداً
    • ب)f(100)=5
    • ج)lim⁡x→+∞f(x)=5

  6. 6. وجدنا f(x)−2=−112x+3. أين يقع Cf بالنسبة إلى المستقيم Δ:y=2 على المجال ]−32,+∞[؟

    • أ)تحت Δ
    • ب)فوق Δ
    • ج)فوق Δ دائماً، فالخطّ لا يهبط تحت مقاربه

  7. 7. ما نهاية هذا التابع عند +∞؟

    f(x)=3x+7x−2
    • أ)3
    • ب)−72
    • ج)+∞

  8. 8. التابع f(x)=4x−52x+3 نهايته عند +∞ هي 2. هل يجوز أن نقول إنّ نهايته عند −32 هي 2 أيضاً؟

    • أ)نعم، النسبة بين الحدّين الأكبرين هي نفسها
    • ب)نعم، لأنّ y=2 مقارب للخطّ البياني
    • ج)لا، فالسلوك عند عدد حقيقي مسألة أخرى

  9. 9. ما نهاية هذا التابع عند +∞؟

    f(x)=2+1x
    • أ)1x
    • ب)2
    • ج)3

  10. 10. الخطّ البياني لتابع f يقترب من المستقيم y=−4 كلّما ذهبنا يساراً بعيداً على محور الفواصل. كيف نكتب ذلك؟

    • أ)lim⁡x→−∞f(x)=−4
    • ب)lim⁡x→−4f(x)=−∞
    • ج)lim⁡x→+∞f(x)=−4

  11. 11. ما الشرط الذي يجعل للسؤال عن lim⁡x→+∞f(x) معنى؟

    • أ)أن يكون f معرّفاً على الأعداد الحقيقية كلّها
    • ب)أن تحوي مجموعة التعريف مجالاً من الشكل ]a,+∞[
    • ج)أن يكون f معرّفاً عند +∞

  12. 12. أيّ من هذه المستقيمات يصلح أن يكون مقارباً أفقياً؟

    • أ)x=3
    • ب)y=2x+1
    • ج)y=−1

  13. 13. لتابعٍ مقارب أفقي Δ، ووجدنا f(x)−ℓ=x−1x2+1. هل يقطع Cf مقاربه؟

    • أ)لا، فالمقارب لا يُقطع أبداً
    • ب)لا، لأنّ المقام لا ينعدم
    • ج)نعم، عند x=1

  14. 14. ما نهاية هذا التابع عند +∞؟

    f(x)=−7x3
    • أ)−7
    • ب)0
    • ج)−∞

  15. 15. تابعٌ نهايته عند +∞ هي 3، وقيمته f(2)=8. هل في ذلك تناقض؟

    • أ)لا، فقيمة التابع عند نقطة لا علاقة لها بنهايته عند +∞
    • ب)نعم، فقيم التابع يجب أن تبقى قرب 3
    • ج)نعم، فالمقارب y=3 يمنع القيم من تجاوزه

  16. 16. ما نهاية هذا التابع عند −∞؟

    f(x)=1x5
    • أ)0
    • ب)−∞
    • ج)لا وجود لها، لأنّ الأس فردي

سلّم التصحيح

  1. 1. ج صحيح. هذه أولى النهايات المرجعيّة، ومحور الفواصل مقارب أفقي للخطّ البياني.
  2. 2. أ صحيح. النسبة بين الحدّين الأكبرين 4x2x تساوي 2، والمقارب الأفقي معادلته y=2.
  3. 3. ب صحيح. مجموعة التعريف هي ]0,+∞[، فلا تحوي أيّ مجال من الشكل ]−∞,a[، والسؤال بلا معنى.
  4. 4. ب صحيح. التابع يتأرجح دائماً بين −1 و 1 ولا يستقرّ قرب أيّ عدد، فلا نهاية منتهية له ولا لانهائية.
  5. 5. ج صحيح. وجود المقارب الأفقي y=5 عند +∞ هو بعينه القول إنّ النهاية هناك تساوي 5.
  6. 6. أ صحيح. على هذا المجال 2x+3>0، والبسط −11 سالب، فالفرق سالب و Cf تحت المقارب.
  7. 7. أ صحيح. الحدّ الأكبر في البسط 3x وفي المقام x، والنسبة بينهما 3.
  8. 8. ج صحيح. العدد −32 يُعدم المقام، وهذه حالة يعالجها الدرس التالي، لا هذا الدرس.
  9. 9. ب صحيح. الكسر 1x يتلاشى، فتتجمّع القيم حول 2، والمستقيم y=2 مقارب أفقي.
  10. 10. أ صحيح. الذهاب يساراً هو x→−∞، والقيم تتجمّع حول −4.
  11. 11. ب صحيح. هذا هو معنى أن يكون التابع معرّفاً في جوار اللّانهاية الموجبة.
  12. 12. ج صحيح. مستقيم أفقي، ومعادلته من الشكل y=ℓ مع ℓ=−1.
  13. 13. ج صحيح. البسط ينعدم عند 1، فالفرق ينعدم هناك ويقطع الخطّ البياني مقاربه، ثمّ تتغيّر إشارة الفرق.
  14. 14. ب صحيح. 1x3 نهايتها 0 من القائمة المرجعيّة، وضربها بثابت لا يغيّر ذلك.
  15. 15. أ صحيح. النهاية عند +∞ تصف القيم بعيداً وحدها، وما يحدث عند 2 حرّ تماماً.
  16. 16. أ صحيح. القيم سالبة هنا، لكنّها تصغر بالقيمة المطلقة فتتجمّع حول 0.